Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{3}}{x - 3}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}{x - 3}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x}{x}}{x - 3}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x \cdot 3$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{x \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x}{x}}{x - 3}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{x \cdot 3} - \frac{x}{3 x}}{x - 3}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $x \cdot 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{3 x} - \frac{x}{3 x}}{x - 3}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3 - x}{3 x}}{x - 3}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 2.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 3} \frac{3 - x}{3 x} \cdot \frac{1}{x - 3}$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{3 - x}{3 x}$ par $\frac{1}{x - 3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 - x}{3 x (x - 3)}$

Étape 2.1.3

Annulez le facteur commun à $3 - x$ et $x - 3$ .

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Étape 2.1.3.1

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (- 3) - x}{3 x (x - 3)}$

Étape 2.1.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (- 3) - (x)}{3 x (x - 3)}$

Étape 2.1.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 3) - (x)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (- 3 + x)}{3 x (x - 3)}$

Étape 2.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (x - 3)}{3 x (x - 3)}$

Étape 2.1.3.5

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (x - 3)}{3 x (x - 3)}$

Étape 2.1.3.6

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 3} \frac{- 1}{3 x}$

Étape 2.2

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 3} \frac{- 1}{x}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 3} - 1}{lim_{x \to 3} x}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $- 1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 3} x}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{3}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ .

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 3}$

Étape 4.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{1}{9}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{9}$

Forme décimale :

$- 0.\overline{1}$