Calcul infinitésimal Exemples

$y = x$ , $y = \sqrt[6]{x}$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x = \sqrt[6]{x}$

Étape 1.2

Résolvez $x = \sqrt[6]{x}$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\sqrt[6]{x} = x$

Étape 1.2.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt[6]{x} - x = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez $\sqrt[6]{x} - x$ .

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Étape 1.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[6]{x}$ comme $x^{\frac{1}{6}}$ .

$x^{\frac{1}{6}} - x = 0$

Étape 1.2.3.2

Factorisez $x^{\frac{1}{6}}$ à partir de $x^{\frac{1}{6}} - x$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$x^{\frac{1}{6}} \cdot 1 - x = 0$

Étape 1.2.3.2.2

Factorisez $x^{\frac{1}{6}}$ à partir de $- x$ .

$x^{\frac{1}{6}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{6}} (- x^{\frac{5}{6}}) = 0$

Étape 1.2.3.2.3

Factorisez $x^{\frac{1}{6}}$ à partir de $x^{\frac{1}{6}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{6}} (- x^{\frac{5}{6}})$ .

$x^{\frac{1}{6}} (1 - x^{\frac{5}{6}}) = 0$

Étape 1.2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{\frac{1}{6}} = 0$

$1 - x^{\frac{5}{6}} = 0 + y = \sqrt[6]{x}$

Étape 1.2.5

Définissez $x^{\frac{1}{6}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x^{\frac{1}{6}}$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{6}} = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $x^{\frac{1}{6}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $6$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{6}})}^{6} = 0^{6}$

Étape 1.2.5.2.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 1.2.5.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

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Étape 1.2.5.2.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

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Étape 1.2.5.2.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 0^{6}$

Étape 1.2.5.2.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.2.5.2.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 0^{6}$

Étape 1.2.5.2.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{6}$

Étape 1.2.5.2.2.1.1.2

Simplifiez

$x = 0^{6}$

Étape 1.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.6

Définissez $1 - x^{\frac{5}{6}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $1 - x^{\frac{5}{6}}$ égal à $0$ .

$1 - x^{\frac{5}{6}} = 0$

Étape 1.2.6.2

Résolvez $1 - x^{\frac{5}{6}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{\frac{5}{6}} = - 1$

Étape 1.2.6.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{6}{5}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(- x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Étape 1.2.6.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 1.2.6.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.3.1.1

Simplifiez ${(- x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}}$ .

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Étape 1.2.6.2.3.1.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x^{\frac{5}{6}}$ .

${(- 1)}^{\frac{6}{5}} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Étape 1.2.6.2.3.1.1.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{5}$ .

${({(- 1)}^{5})}^{\frac{6}{5}} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Étape 1.2.6.2.3.1.1.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Étape 1.2.6.2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.2.6.2.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Étape 1.2.6.2.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- 1)}^{6} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Étape 1.2.6.2.3.1.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.2.3.1.1.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$1 {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Étape 1.2.6.2.3.1.1.3.2

Multipliez ${(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}}$ par $1$ .

${(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Étape 1.2.6.2.3.1.1.3.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}}$ .

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Étape 1.2.6.2.3.1.1.3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Étape 1.2.6.2.3.1.1.3.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.2.6.2.3.1.1.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Étape 1.2.6.2.3.1.1.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Étape 1.2.6.2.3.1.1.3.3.3

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.2.6.2.3.1.1.3.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Étape 1.2.6.2.3.1.1.3.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Étape 1.2.6.2.3.1.1.4

Simplifiez

$x = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Étape 1.2.6.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.2.3.2.1

Simplifiez ${(- 1)}^{\frac{6}{5}}$ .

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Étape 1.2.6.2.3.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.2.3.2.1.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{5}$ .

$x = {({(- 1)}^{5})}^{\frac{6}{5}}$

Étape 1.2.6.2.3.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = {(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})}$

Étape 1.2.6.2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.2.6.2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = {(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})}$

Étape 1.2.6.2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = {(- 1)}^{6}$

Étape 1.2.6.2.3.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$x = 1$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{\frac{1}{6}} (1 - x^{\frac{5}{6}}) = 0$ vraie.

$x = 0, 1$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 0$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = \sqrt[6]{0}$

Étape 1.3.2

Simplifiez $\sqrt[6]{0}$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \sqrt[6]{0}$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez $0$ comme $0^{6}$ .

$y = \sqrt[6]{0^{6}}$

Étape 1.3.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = 0$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = 1$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$y = \sqrt[6]{1}$

Étape 1.4.2

Simplifiez $\sqrt[6]{1}$ .

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Étape 1.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \sqrt[6]{1}$

Étape 1.4.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$y = 1$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0}^{1} \sqrt[6]{x} d x - \int_{0}^{1} x d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $1$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{1} \sqrt[6]{x} - (x) d x$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $x$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt[6]{x} - x d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} \sqrt[6]{x} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Étape 3.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[6]{x}$ comme $x^{\frac{1}{6}}$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{6}} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Étape 3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{6}}$ par rapport à $x$ est $\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x d x$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x d x$

Étape 3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Étape 3.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}]_{0}^{1} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Étape 3.8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.8.2.1

Évaluez $\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{6}{7} \cdot 1^{\frac{7}{6}}) - \frac{6}{7} \cdot 0^{\frac{7}{6}} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Étape 3.8.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $0$ .

$\frac{6}{7} \cdot 1^{\frac{7}{6}} - \frac{6}{7} \cdot 0^{\frac{7}{6}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3

Simplifiez

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Étape 3.8.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{6}{7} \cdot 1 - \frac{6}{7} \cdot 0^{\frac{7}{6}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3.2

Multipliez $\frac{6}{7}$ par $1$ .

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot 0^{\frac{7}{6}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3.3

Réécrivez $0$ comme $0^{6}$ .

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot {(0^{6})}^{\frac{7}{6}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot 0^{6 (\frac{7}{6})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3.5

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.8.2.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot 0^{6 (\frac{7}{6})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot 0^{7} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3.7

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{6}{7} + 0 (\frac{6}{7}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3.8

Multipliez $0$ par $\frac{6}{7}$ .

$\frac{6}{7} + 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3.9

Additionnez $\frac{6}{7}$ et $0$ .

$\frac{6}{7} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Étape 3.8.2.3.12

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 3.8.2.3.12.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 3.8.2.3.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.8.2.3.12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 3.8.2.3.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 3.8.2.3.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Étape 3.8.2.3.12.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - 0)$

Étape 3.8.2.3.13

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} + 0)$

Étape 3.8.2.3.14

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$\frac{6}{7} - \frac{1}{2}$

Étape 3.8.2.3.15

Pour écrire $\frac{6}{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 3.8.2.3.16

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7}$

Étape 3.8.2.3.17

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $14$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.8.2.3.17.1

Multipliez $\frac{6}{7}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{7 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7}$

Étape 3.8.2.3.17.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$\frac{6 \cdot 2}{14} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7}$

Étape 3.8.2.3.17.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{14} - \frac{7}{2 \cdot 7}$

Étape 3.8.2.3.17.4

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{6 \cdot 2}{14} - \frac{7}{14}$

Étape 3.8.2.3.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 \cdot 2 - 7}{14}$

Étape 3.8.2.3.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.2.3.19.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 - 7}{14}$

Étape 3.8.2.3.19.2

Soustrayez $7$ de $12$ .

$\frac{5}{14}$

Étape 4