Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{4} - 1}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + 2 x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 1}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 1}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 1}$

Étape 1.1.2.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 1}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 1}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 1}$

Étape 1.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 1}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.6.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1 + 2 \cdot - 1 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 1}$

Étape 1.1.2.6.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1 - 2 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 1}$

Étape 1.1.2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 1 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 1}$

Étape 1.1.2.6.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 1}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{4} - lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{4} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{4} - 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Étape 1.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Étape 1.3.6

Additionnez $2 x + 2$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 2}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 2}{4 x^{3} + 0}$

Étape 1.3.10

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 2}{4 x^{3}}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $2 x + 2$ et $4$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (x) + 2}{4 x^{3}}$

Étape 1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (x) + 2 (1)}{4 x^{3}}$

Étape 1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (x + 1)}{4 x^{3}}$

Étape 1.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (x + 1)}{2 (2 x^{3})}$

Étape 1.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (x + 1)}{2 (2 x^{3})}$

Étape 1.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - 1} \frac{x + 1}{2 x^{3}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - 1} \frac{x + 1}{x^{3}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Étape 2.5

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} x + 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 1}{{(- 1)}^{3}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(- 1)}^{3}}$

Étape 4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3

Divisez $0$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$0$