Calcul infinitésimal Exemples

$(x + 8) (\frac{24}{x} + 12)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 8$ et $g (x) = \frac{24}{x} + 12$ .

$(x + 8) \frac{d}{d x} [\frac{24}{x} + 12] + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{24}{x} + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{24}{x}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$(x + 8) (\frac{d}{d x} [\frac{24}{x}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Étape 2.2

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{24}{x}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(x + 8) (24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$(x + 8) (24 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$(x + 8) (24 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Étape 2.5

Multipliez $- 1$ par $24$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Étape 2.6

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2} + 0) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Étape 2.7

Additionnez $- 24 x^{- 2}$ et $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (1 + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 2.10

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (1 + 0)$

Étape 2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) \cdot 1$

Étape 2.11.2

Multipliez $\frac{24}{x} + 12$ par $1$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + \frac{24}{x} + 12$

Étape 3

Pour écrire $(x + 8) (- 24 x^{- 2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 2}) x}{x} + \frac{24}{x} + 12$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 2}) x + 24}{x} + 12$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 (x^{1} x^{- 2})) + 24}{x} + 12$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{1 - 2}) + 24}{x} + 12$

Étape 7

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 1}) + 24}{x} + 12$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (- 24 \frac{1}{x}) + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Étape 8.3

Associez des termes.

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Étape 8.3.1

Associez $- 24$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{- 24}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Étape 8.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x (- \frac{24}{x}) + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Étape 8.3.3

Associez $x$ et $\frac{24}{x}$ .

$\frac{- \frac{x \cdot 24}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Étape 8.3.4

Déplacez $24$ à gauche de $x$ .

$\frac{- \frac{24 \cdot x}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Étape 8.3.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{24 x}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Étape 8.3.5.2

Divisez $24$ par $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Étape 8.3.6

Multipliez $- 1$ par $24$ .

$\frac{- 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Étape 8.3.7

Associez $- 24$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 24 + 8 \frac{- 24}{x} + 24}{x} + 12$

Étape 8.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- 24 + 8 (- \frac{24}{x}) + 24}{x} + 12$

Étape 8.3.9

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{- 24 - 8 \frac{24}{x} + 24}{x} + 12$

Étape 8.3.10

Associez $- 8$ et $\frac{24}{x}$ .

$\frac{- 24 + \frac{- 8 \cdot 24}{x} + 24}{x} + 12$

Étape 8.3.11

Multipliez $- 8$ par $24$ .

$\frac{- 24 + \frac{- 192}{x} + 24}{x} + 12$

Étape 8.3.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- 24 - \frac{192}{x} + 24}{x} + 12$

Étape 8.3.13

Additionnez $- 24$ et $24$ .

$\frac{- \frac{192}{x} + 0}{x} + 12$

Étape 8.3.14

Additionnez $- \frac{192}{x}$ et $0$ .

$\frac{- \frac{192}{x}}{x} + 12$

Étape 8.3.15

Réécrivez $\frac{- \frac{192}{x}}{x}$ comme un produit.

$- \frac{192}{x} \cdot \frac{1}{x} + 12$

Étape 8.3.16

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{192}{x}$ .

$- \frac{192}{x \cdot x} + 12$

Étape 8.3.17

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{192}{x^{1} x} + 12$

Étape 8.3.18

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{192}{x^{1} x^{1}} + 12$

Étape 8.3.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{192}{x^{1 + 1}} + 12$

Étape 8.3.20

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{192}{x^{2}} + 12$