Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Étape 4.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Étape 4.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- e^{- x})$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{- x}$ .

$\frac{1}{2} e^{x} - \frac{e^{- x}}{2}$

Étape 5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2}$