Calcul infinitésimal Exemples

$(3 x + 2 \sqrt{x} + \frac{32}{x^{2}})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{32}{x^{2}}]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{32}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Étape 5

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Étape 8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Étape 9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Étape 11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Étape 11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Étape 12

Simplifiez les termes.

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Étape 12.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Étape 12.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Étape 12.3

Associez $2$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Étape 12.4

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Étape 12.5

Annulez le facteur commun.

$3 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Étape 12.6

Réécrivez l’expression.

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Étape 13

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{32}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 14

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 14.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 14.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 14.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Étape 14.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Étape 15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- 2 x^{- 3})$

Étape 16

Multipliez $- 2$ par $32$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 64 x^{- 3}$

Étape 17

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 64 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 18

Simplifiez

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Étape 18.1

Associez des termes.

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Étape 18.1.1

Associez $- 64$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 64}{x^{3}}$

Étape 18.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{64}{x^{3}}$

Étape 18.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{64}{x^{3}} + 3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$