Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 24$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 48 x + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 48 x$ par rapport à $x$ est $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $- 48$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.2.4.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + 0$

Étape 1.2.4.2

Additionnez $12 x^{2} - 48$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 48$ .

$12 x^{2} - 48$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 48 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 x^{2} - 48 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $48$ aux deux côtés de l’équation.

$12 x^{2} = 48$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 48$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 48$ par $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{48}{12}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $48$ par $12$ .

$x^{2} = 4$

Étape 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 2.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $2$ dans $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = {(2)}^{4} - 24 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (2) = 16 - 24 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Étape 3.1.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = 16 - 24 \cdot 4 + 12 (2)$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $4$ .

$f (2) = 16 - 96 + 12 (2)$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $12$ par $2$ .

$f (2) = 16 - 96 + 24$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.1.2.2.1

Soustrayez $96$ de $16$ .

$f (2) = - 80 + 24$

Étape 3.1.2.2.2

Additionnez $- 80$ et $24$ .

$f (2) = - 56$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $- 56$ .

$- 56$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $2$ dans $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ est $(2, - 56)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(2, - 56)$

Étape 3.3

Remplacez $- 2$ dans $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} - 24 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f (- 2) = 16 - 24 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2)$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = 16 - 24 \cdot 4 + 12 (- 2)$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $4$ .

$f (- 2) = 16 - 96 + 12 (- 2)$

Étape 3.3.2.1.4

Multipliez $12$ par $- 2$ .

$f (- 2) = 16 - 96 - 24$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 3.3.2.2.1

Soustrayez $96$ de $16$ .

$f (- 2) = - 80 - 24$

Étape 3.3.2.2.2

Soustrayez $24$ de $- 80$ .

$f (- 2) = - 104$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $- 104$ .

$- 104$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- 2$ dans $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ est $(- 2, - 104)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 2, - 104)$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(2, - 56), (- 2, - 104)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.1$ dans l’expression.

$f'' (- 2.1) = 12 {(- 2.1)}^{2} - 48$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2.1) = 12 \cdot 4.41 - 48$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $12$ par $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 52.92 - 48$

Étape 5.2.2

Soustrayez $48$ de $52.92$ .

$f'' (- 2.1) = 4.92$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $4.92$ .

$4.92$

Étape 5.3

Sur $- 2.1$ , la dérivée seconde est $4.92$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 2)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 2)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 48$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 48$

Étape 6.2.2

Soustrayez $48$ de $0$ .

$f'' (0) = - 48$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 48$ .

$- 48$

Étape 6.3

Sur $0$ , la dérivée seconde est $- 48$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 2, 2)$

Diminue sur $(- 2, 2)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2.1$ dans l’expression.

$f'' (2.1) = 12 {(2.1)}^{2} - 48$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $2.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (2.1) = 12 \cdot 4.41 - 48$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $4.41$ .

$f'' (2.1) = 52.92 - 48$

Étape 7.2.2

Soustrayez $48$ de $52.92$ .

$f'' (2.1) = 4.92$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $4.92$ .

$4.92$

Étape 7.3

Sur $2.1$ , la dérivée seconde est $4.92$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(2, \infty)$ .

Augmente sur $(2, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 104), (2, - 56)$ .

$(- 2, - 104), (2, - 56)$

Étape 9