Calcul infinitésimal Exemples

$(\sqrt{x + h} - \sqrt{x}) (\sqrt{x + h} + \sqrt{x})$

Étape 1

Développez $(\sqrt{x + h} - \sqrt{x}) (\sqrt{x + h} + \sqrt{x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{x + h} (\sqrt{x + h} + \sqrt{x}) - \sqrt{x} (\sqrt{x + h} + \sqrt{x})$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{x + h} \sqrt{x + h} + \sqrt{x + h} \sqrt{x} - \sqrt{x} (\sqrt{x + h} + \sqrt{x})$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{x + h} \sqrt{x + h} + \sqrt{x + h} \sqrt{x} - \sqrt{x} \sqrt{x + h} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Associez les termes opposés dans $\sqrt{x + h} \sqrt{x + h} + \sqrt{x + h} \sqrt{x} - \sqrt{x} \sqrt{x + h} - \sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Étape 2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\sqrt{x + h} \sqrt{x}$ et $- \sqrt{x} \sqrt{x + h}$ .

$\sqrt{x + h} \sqrt{x + h} + \sqrt{x} \sqrt{x + h} - \sqrt{x} \sqrt{x + h} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

Étape 2.1.2

Soustrayez $\sqrt{x} \sqrt{x + h}$ de $\sqrt{x} \sqrt{x + h}$ .

$\sqrt{x + h} \sqrt{x + h} + 0 - \sqrt{x} \sqrt{x}$

Étape 2.1.3

Additionnez $\sqrt{x + h} \sqrt{x + h}$ et $0$ .

$\sqrt{x + h} \sqrt{x + h} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\sqrt{x + h} \sqrt{x + h}$ .

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Étape 2.2.1.1

Élevez $\sqrt{x + h}$ à la puissance $1$ .

${\sqrt{x + h}}^{1} \sqrt{x + h} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

Étape 2.2.1.2

Élevez $\sqrt{x + h}$ à la puissance $1$ .

${\sqrt{x + h}}^{1} {\sqrt{x + h}}^{1} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

Étape 2.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sqrt{x + h}}^{1 + 1} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

Étape 2.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${\sqrt{x + h}}^{2} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

Étape 2.2.2

Réécrivez ${\sqrt{x + h}}^{2}$ comme $x + h$ .

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Étape 2.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + h}$ comme ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

Étape 2.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

Étape 2.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(x + h)}^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

Étape 2.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

${(x + h)}^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

Étape 2.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

${(x + h)}^{1} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

Étape 2.2.2.5

Simplifiez

$x + h - \sqrt{x} \sqrt{x}$

Étape 2.2.3

Multipliez $- \sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Étape 2.2.3.1

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$x + h - ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})$

Étape 2.2.3.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$x + h - ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})$

Étape 2.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x + h - {\sqrt{x}}^{1 + 1}$

Étape 2.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x + h - {\sqrt{x}}^{2}$

Étape 2.2.4

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 2.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x + h - {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + h - x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x + h - x^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$x + h - x^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$x + h - x^{1}$

Étape 2.2.4.5

Simplifiez

$x + h - x$

Étape 2.3

Associez les termes opposés dans $x + h - x$ .

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Étape 2.3.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$h + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $h$ et $0$ .

$h$