Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{\sqrt{x^{9}}}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x^{9}}}]$ comme $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} \sqrt{x}}]$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{9}$ comme ${(x^{4})}^{2} x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x^{8}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x^{8} x}}]$

Étape 1.1.2

Réécrivez $x^{8}$ comme ${(x^{4})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{{(x^{4})}^{2} x}}]$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} \sqrt{x}}]$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3

Multipliez $x^{4}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4 + \frac{1}{2}}}]$

Étape 3.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Étape 3.3

Associez $4$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4 \cdot 2 + 1}{2}}}]$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{8 + 1}{2}}}]$

Étape 3.5.2

Additionnez $8$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}}]$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{9}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{9}{2}})}^{- 1}]$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{9}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2} \cdot - 1}]$

Étape 4.2.2

Multipliez $\frac{9}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 4.2.2.1

Associez $\frac{9}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9 \cdot - 1}{2}}]$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 9}{2}}]$

Étape 4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{9}{2}}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2} x^{- \frac{9}{2} - 1}$

Étape 6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{2} x^{- \frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{2} x^{- \frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{9}{2} x^{\frac{- 9 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{9}{2} x^{\frac{- 9 - 2}{2}}$

Étape 9.2

Soustrayez $2$ de $- 9$ .

$- \frac{9}{2} x^{\frac{- 11}{2}}$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{2} x^{- \frac{11}{2}}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{11}{2}}}$

Étape 11.2

Associez des termes.

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Étape 11.2.1

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{11}{2}}}$ par $\frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{x^{\frac{11}{2}} \cdot 2}$

Étape 11.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{11}{2}}$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{11}{2}}}$