Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (9 x^{3} - x^{2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 9 x^{3} - x^{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 x^{3} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 x^{3} - x^{2}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 x^{3} - x^{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 x^{3} - x^{2}$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{3} - x^{2}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{3} - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{3}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (27 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (27 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (27 x^{2} - (2 x))$

Étape 2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (27 x^{2} - 2 x)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (27 x^{2} - 2 x)$ .

$(27 x^{2} - 2 x) \frac{1}{9 x^{3} - x^{2}}$

Étape 3.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $9 x^{3} - x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $9 x^{3}$ .

$(27 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (9 x) - x^{2}}$

Étape 3.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$(27 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (9 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Étape 3.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (9 x) + x^{2} \cdot - 1$ .

$(27 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (9 x - 1)}$

Étape 3.3

Multipliez $27 x^{2} - 2 x$ par $\frac{1}{x^{2} (9 x - 1)}$ .

$\frac{27 x^{2} - 2 x}{x^{2} (9 x - 1)}$

Étape 3.4

Factorisez $x$ à partir de $27 x^{2} - 2 x$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $x$ à partir de $27 x^{2}$ .

$\frac{x (27 x) - 2 x}{x^{2} (9 x - 1)}$

Étape 3.4.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{x (27 x) + x \cdot - 2}{x^{2} (9 x - 1)}$

Étape 3.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x (27 x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (27 x - 2)}{x^{2} (9 x - 1)}$

Étape 3.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (9 x - 1)$ .

$\frac{x (27 x - 2)}{x (x (9 x - 1))}$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (27 x - 2)}{x (x (9 x - 1))}$

Étape 3.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{27 x - 2}{x (9 x - 1)}$