Calcul infinitésimal Exemples

$y = (x + 6) (\frac{x}{x + 1})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 6$ et $g (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

$(x + 6) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}] + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x + 1$ .

$(x + 6) \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + 6) \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Étape 3.2

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Étape 3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Étape 3.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Étape 3.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Étape 3.6.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$(x + 6) \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Étape 3.6.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 3.9

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (1 + 0)$

Étape 3.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \cdot 1$

Étape 3.10.2

Multipliez $\frac{x}{x + 1}$ par $1$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1}$

Étape 4

Pour écrire $(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

Étape 5

Associez $(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ et $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1)}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1) + x}{x + 1}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1.1

Multipliez $x + 6$ par $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{x + 6}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1) + x}{x + 1}$

Étape 7.1.1.2

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 7.1.1.2.1

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{\frac{x + 6}{(x + 1) (x + 1)} (x + 1) + x}{x + 1}$

Étape 7.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x + 6}{(x + 1) (x + 1)} (x + 1) + x}{x + 1}$

Étape 7.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{x + 6}{x + 1} + x}{x + 1}$

Étape 7.1.2

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{x + 6}{x + 1} + \frac{x (x + 1)}{x + 1}}{x + 1}$

Étape 7.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x + 6 + x (x + 1)}{x + 1}}{x + 1}$

Étape 7.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x + 6 + x \cdot x + x \cdot 1}{x + 1}}{x + 1}$

Étape 7.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{x + 6 + x^{2} + x \cdot 1}{x + 1}}{x + 1}$

Étape 7.1.4.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\frac{x + 6 + x^{2} + x}{x + 1}}{x + 1}$

Étape 7.1.4.4

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{\frac{2 x + 6 + x^{2}}{x + 1}}{x + 1}$

Étape 7.1.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}}{x + 1}$

Étape 7.2

Associez des termes.

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Étape 7.2.1

Réécrivez $\frac{\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}}{x + 1}$ comme un produit.

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Étape 7.2.2

Multipliez $\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}$ par $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{(x + 1) (x + 1)}$

Étape 7.2.3

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Étape 7.2.4

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Étape 7.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Étape 7.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{2}}$