Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x^{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{x}$ .

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [x^{x}]$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 2.1

Réécrivez $x^{x}$ comme $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

Étape 2.2

Développez $\ln (x^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x \ln (x)$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x \ln (x)$ .

$\frac{1}{x^{x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x^{x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x \ln (x)$ .

$\frac{1}{x^{x}} (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Étape 4

Associez $e^{x \ln (x)}$ et $\frac{1}{x^{x}}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 7.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 7.4

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x))$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \cdot 1 + \frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \ln (x)$

Étape 8.2

Associez des termes.

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Étape 8.2.1

Multipliez $\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}}$ par $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} + \frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \ln (x)$

Étape 8.2.2

Associez $\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} + \frac{e^{x \ln (x)} \ln (x)}{x^{x}}$