Calcul infinitésimal Exemples

$(x - 1) {(x^{2} - 2 x + 5)}^{5}$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} - 2 x + 5$ . Alors $d u = (2 x - 2) d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = (x - 1) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} - 2 x + 5$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} - 2 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 5]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x - 2 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$2 x - 2$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{5} \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $u^{5}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u^{5}}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int u^{5} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{5}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 6} u^{6} + C$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{1}{12} u^{6} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 2 x + 5$ .

$\frac{1}{12} {(x^{2} - 2 x + 5)}^{6} + C$