Calcul infinitésimal Exemples

${(\sqrt{x})}^{x}$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{x}]$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{x}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} x}]$

Étape 1.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{x}{2}}]$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 2.1

Réécrivez $x^{\frac{x}{2}}$ comme $e^{\ln (x^{\frac{x}{2}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{x}{2}})}]$

Étape 2.2

Développez $\ln (x^{\frac{x}{2}})$ en déplaçant $\frac{x}{2}$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2} \ln (x)}]$

Étape 3

Associez $\frac{x}{2}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x \ln (x)}{2}}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{x \ln (x)}{2}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x \ln (x)}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x \ln (x)}{2}$ .

$e^{\frac{x \ln (x)}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 5.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x \ln (x)}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$e^{\frac{x \ln (x)}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{\frac{x \ln (x)}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 8.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 8.4

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \ln (x)$

Étape 9.2

Associez des termes.

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Étape 9.2.1

Multipliez $\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2}$ par $1$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \ln (x)$

Étape 9.2.2

Associez $\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}} \ln (x)}{2}$