Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{4} \sin (x^{5}) d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{5}$ . Alors $d u = 5 x^{4} d x$ , donc $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{5}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{5}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sin (u) \frac{1}{5} d u$

Étape 2

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{\sin (u)}{5} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} \int \sin (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{5} (- \cos (u) + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez

$\frac{1}{5} (- \cos (u)) + C$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $\cos (u)$ .

$- \frac{\cos (u)}{5} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{5}$ .

$- \frac{\cos (x^{5})}{5} + C$

Étape 7

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{5} \cos (x^{5}) + C$