Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{6} - 6 x^{5}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{6} - 6 x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{5}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 x^{5} - 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$6 x^{5} - 6 (5 x^{4})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $5$ par $- 6$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 30 x^{4}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{5} - 30 x^{4}$ .

$6 x^{5} - 30 x^{4}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{5} - 30 x^{4} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{5} - 30 x^{4} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $6 x^{4}$ à partir de $6 x^{5} - 30 x^{4}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $6 x^{4}$ à partir de $6 x^{5}$ .

$6 x^{4} (x) - 30 x^{4} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $6 x^{4}$ à partir de $- 30 x^{4}$ .

$6 x^{4} (x) + 6 x^{4} (- 5) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $6 x^{4}$ à partir de $6 x^{4} (x) + 6 x^{4} (- 5)$ .

$6 x^{4} (x - 5) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{4} = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{4}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{4}$ égal à $0$ .

$x^{4} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{4} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 x^{4} (x - 5) = 0$ vraie.

$x = 0, 5$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{6} - 6 x^{5}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{6} - 6 {(0)}^{5}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 6 {(0)}^{5}$

Étape 4.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 6 \cdot 0$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 5$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $5$ .

${(5)}^{6} - 6 {(5)}^{5}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $6$ .

$15625 - 6 {(5)}^{5}$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$15625 - 6 \cdot 3125$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $3125$ .

$15625 - 18750$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $18750$ de $15625$ .

$- 3125$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (5, - 3125)$

Étape 5