Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3} = 8$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (8)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2} y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} y'$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) + 3 y^{2} y'$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 y x + 3 y^{2} y'$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y'$

Étape 3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Étape 5.1.2

Soustrayez $6 x y$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

Étape 5.2

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 x^{2} y' + 3 y^{2} y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 x^{2} y'$ .

$3 y' x^{2} + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

Étape 5.2.2

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' x^{2} + 3 y' y^{2} = - 3 x^{2} - 6 x y$

Étape 5.2.3

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y' x^{2} + 3 y' y^{2}$ .

$3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ par $3 (x^{2} + y^{2})$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ par $3 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $3$ .

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Étape 5.3.3.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6 x y$ .

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5.3.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- x^{2} - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} - 2 x y$ .

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Étape 5.3.3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- x) - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5.3.3.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x y$ .

$y' = \frac{x (- x) + x (- 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5.3.3.2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- x) + x (- 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- x - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y' = \frac{x (- (x) - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5.3.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y$ .

$y' = \frac{x (- (x) - (2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5.3.3.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{x (- (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5.3.3.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.2.6.1

Réécrivez $- (x + 2 y)$ comme $- 1 (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- 1 (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5.3.3.2.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 7

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 7.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x (x + 2 y) = 0$

Étape 7.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 2 y = 0$

Étape 7.2.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 7.2.3

Définissez $x + 2 y$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.2.3.1

Définissez $x + 2 y$ égal à $0$ .

$x + 2 y = 0$

Étape 7.2.3.2

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2 y$

Étape 7.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 2 y) = 0$ vraie.

$x = 0$

$x = - 2 y$

$x = 0$

$x = - 2 y$

$x = 0$

$x = - 2 y$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez $0^{3} + 3 \cdot (0^{2} y) + y^{3}$ .

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Étape 8.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 3 \cdot (0^{2} y) + y^{3} = 8$

Étape 8.1.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 3 \cdot (0 y) + y^{3} = 8$

Étape 8.1.1.3

Multipliez $0$ par $y$ .

$0 + 3 \cdot 0 + y^{3} = 8$

Étape 8.1.1.4

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 + 0 + y^{3} = 8$

Étape 8.1.2

Associez les termes opposés dans $0 + 0 + y^{3}$ .

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Étape 8.1.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + y^{3} = 8$

Étape 8.1.2.2

Additionnez $0$ et $y^{3}$ .

$y^{3} = 8$

Étape 8.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$y^{3} - 8 = 0$

Étape 8.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.3.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$y^{3} - 2^{3} = 0$

Étape 8.3.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = y$ et $b = 2$ .

$(y - 2) (y^{2} + y \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 8.3.3

Simplifiez

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Étape 8.3.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 2^{2}) = 0$

Étape 8.3.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

Étape 8.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 2 = 0$

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

Étape 8.5

Définissez $y - 2$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 8.5.1

Définissez $y - 2$ égal à $0$ .

$y - 2 = 0$

Étape 8.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2$

Étape 8.6

Définissez $y^{2} + 2 y + 4$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 8.6.1

Définissez $y^{2} + 2 y + 4$ égal à $0$ .

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

Étape 8.6.2

Résolvez $y^{2} + 2 y + 4 = 0$ pour $y$ .

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Étape 8.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 8.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.3

Simplifiez

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Étape 8.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.6.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 8.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.3.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.3.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 8.6.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 8.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 8.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.6.2.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 8.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.4.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.4.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.4.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 8.6.2.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.6.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 8.6.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = - 1 + i \sqrt{3}$

Étape 8.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 8.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.6.2.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 8.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.5.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.5.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.5.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 8.6.2.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.6.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 8.6.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 8.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 8.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$ vraie.

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 9

Résolvez $y$ .

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Étape 9.1

Simplifiez ${(- 2 y)}^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3}$ .

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Étape 9.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 y$ .

${(- 2)}^{3} y^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3} = 8$

Étape 9.1.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 8 y^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3} = 8$

Étape 9.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $- 2 y$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{2}) y + y^{3} = 8$

Étape 9.1.1.4

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.1.1.4.1

Déplacez $y$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} (y \cdot y^{2})) + y^{3} = 8$

Étape 9.1.1.4.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 9.1.1.4.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} (y^{1} y^{2})) + y^{3} = 8$

Étape 9.1.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{1 + 2}) + y^{3} = 8$

Étape 9.1.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{3}) + y^{3} = 8$

Étape 9.1.1.5

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 8 y^{3} + 3 (4 y^{3}) + y^{3} = 8$

Étape 9.1.1.6

Multipliez $4$ par $3$ .

$- 8 y^{3} + 12 y^{3} + y^{3} = 8$

Étape 9.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 9.1.2.1

Additionnez $- 8 y^{3}$ et $12 y^{3}$ .

$4 y^{3} + y^{3} = 8$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $4 y^{3}$ et $y^{3}$ .

$5 y^{3} = 8$

Étape 9.2

Divisez chaque terme dans $5 y^{3} = 8$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Divisez chaque terme dans $5 y^{3} = 8$ par $5$ .

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{8}{5}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 9.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{8}{5}$

Étape 9.2.2.1.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{8}{5}$

Étape 9.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{8}{5}}$

Étape 9.4

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{8}{5}}$ .

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Étape 9.4.1

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{8}{5}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{5}}$

Étape 9.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{2^{3}}}{\sqrt[3]{5}}$

Étape 9.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$y = \frac{2}{\sqrt[3]{5}}$

Étape 9.4.3

Multipliez $\frac{2}{\sqrt[3]{5}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Étape 9.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.4.4.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt[3]{5}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Étape 9.4.4.2

Élevez $\sqrt[3]{5}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Étape 9.4.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Étape 9.4.4.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Étape 9.4.4.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ comme $5$ .

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Étape 9.4.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{5}$ comme $5^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 9.4.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 9.4.4.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Étape 9.4.4.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.4.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Étape 9.4.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

Étape 9.4.4.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

Étape 9.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.5.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{5^{2}}$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

Étape 9.4.5.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{25}}{5}$

Étape 10

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 2)$

$(0, - 1 + i \sqrt{3})$

$(0, - 1 - i \sqrt{3})$

$(- 2 y, \frac{2 \sqrt[3]{25}}{5})$

Étape 11