Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $3 x^{2} - 6 x$ et $0$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 6 x = 0$ .

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Étape 3.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2} - 6 x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 6 x = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x) + 3 x (- 2)$ .

$3 x (x - 2) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 3.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, 2$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ sur $x = 0$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2} + 1$

Étape 4.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = 1$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ sur $x = 2$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (2) = 8 - 3 {(2)}^{2} + 1$

Étape 5.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = 8 - 3 \cdot 4 + 1$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$f (2) = 8 - 12 + 1$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $12$ de $8$ .

$f (2) = - 4 + 1$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$f (2) = - 3$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 6

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ sont $y = 1, y = - 3$ .

$y = 1, y = - 3$

Étape 7