Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 - x^{- 2}$

Étape 1.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, 1$

Étape 2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ par $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 2.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 2.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = - x^{2}$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- x^{2} = - 1$ .

$- x^{2} = - 1$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Étape 2.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 2.5.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 2.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 2.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 2.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $x + \frac{1}{x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$(1) + \frac{1}{1}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Divisez $1$ par $1$ .

$1 + 1$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$2$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$(- 1) + \frac{1}{- 1}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$- 1 - 1$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$- 2$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$(0) + \frac{1}{0}$

Étape 4.3.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(1, 2), (- 1, - 2)$

Étape 5