Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{7}^{8} x \sqrt{x - 7} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sqrt{x - 7}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})]_{7}^{8} - \int_{7}^{8} \frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x - 7)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{7}^{8} - \int_{7}^{8} \frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 2.2

Associez $x$ et $\frac{2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - \int_{7}^{8} \frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 3

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - (\frac{2}{3} \int_{7}^{8} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 4

Laissez $u = x - 7$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = x - 7$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 4.1.4

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 7$ .

$u_{lower} = 7 - 7$

Étape 4.3

Soustrayez $7$ de $7$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 7$ .

$u_{upper} = 8 - 7$

Étape 4.5

Soustrayez $7$ de $8$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ sur $8$ et sur $7$ .

$(\frac{8 (2 {(8 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Étape 6.2

Évaluez $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{8 (2 {(8 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Soustrayez $7$ de $8$ .

$\frac{8 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{8 (2 \cdot 1)}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{8 \cdot 2}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.4

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.5

Soustrayez $7$ de $7$ .

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.6

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.10

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{16}{3} - \frac{7 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.11

Multipliez $7$ par $0$ .

$\frac{16}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.12

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 6.3.12.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$\frac{16}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.12.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{16}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.12.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{16}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.13

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{16}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.14

Additionnez $\frac{16}{3}$ et $0$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.15

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.16

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $1$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.17

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.18

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Étape 6.3.19

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.19.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Étape 6.3.19.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

Étape 6.3.20

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

Étape 6.3.21

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

Étape 6.3.22

Multipliez $0$ par $\frac{2}{5}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

Étape 6.3.23

Additionnez $\frac{2}{5}$ et $0$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

Étape 6.3.24

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Étape 6.3.25

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{16}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3}$

Étape 6.3.26

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{16}{3} - \frac{4}{15}$

Étape 6.3.27

Pour écrire $\frac{16}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{15}$

Étape 6.3.28

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.3.28.1

Multipliez $\frac{16}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4}{15}$

Étape 6.3.28.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{16 \cdot 5}{15} - \frac{4}{15}$

Étape 6.3.29

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{16 \cdot 5 - 4}{15}$

Étape 6.3.30

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.30.1

Multipliez $16$ par $5$ .

$\frac{80 - 4}{15}$

Étape 6.3.30.2

Soustrayez $4$ de $80$ .

$\frac{76}{15}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{76}{15}$

Forme décimale :

$5.0\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$5 \frac{1}{15}$

Étape 8