Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} | x - 1 | d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale selon là où $x - 1$ est positif et négatif.

$\int_{0}^{1} - x + 1 d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} - x d x + \int_{0}^{1} d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} - 1 d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 1 d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3} + - x]_{1}^{3}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}$ et $- x]_{1}^{3}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{3}$

Étape 10.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $0$ .

$- ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{3}$

Étape 10.2.2

Évaluez $x$ sur $1$ et sur $0$ .

$- (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 1 + 0 + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{3}$

Étape 10.2.3

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2} - x$ sur $3$ et sur $1$ .

$- (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4

Simplifiez

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Étape 10.2.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 10.2.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- (\frac{1}{2} - 0) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- (\frac{1}{2} + 0) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4.5

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$- \frac{1}{2} + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{1}{2} + 1 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 + 2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4.9

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4.10

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 9 - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4.11

Associez $\frac{1}{2}$ et $9$ .

$\frac{1}{2} + \frac{9}{2} - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4.12

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{2} + \frac{9}{2} - 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4.13

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{9}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4.14

Associez $- 3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{9}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} + \frac{9 - 3 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.4.16.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{9 - 6}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4.16.2

Soustrayez $6$ de $9$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4.17

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4.18

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.4.19

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 1)$

Étape 10.2.4.20

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Étape 10.2.4.21

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Étape 10.2.4.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 10.2.4.23

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.4.23.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1 - 2}{2}$

Étape 10.2.4.23.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{- 1}{2}$

Étape 10.2.4.24

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - - \frac{1}{2}$

Étape 10.2.4.25

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Étape 10.2.4.26

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 10.2.4.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} + \frac{3 + 1}{2}$

Étape 10.2.4.28

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{2}$

Étape 10.2.4.29

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 10.2.4.29.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Étape 10.2.4.29.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.29.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Étape 10.2.4.29.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.4.29.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{1}$

Étape 10.2.4.29.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + 2$

Étape 10.2.4.30

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 10.2.4.31

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Étape 10.2.4.32

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

Étape 10.2.4.33

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.4.33.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1 + 4}{2}$

Étape 10.2.4.33.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{5}{2}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5}{2}$

Forme décimale :

$2.5$

Forme de nombre mixte :

$2 \frac{1}{2}$

Étape 12