Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

Étape 1

Laissez $x = 2 \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ est positif.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \tan^{2} (t) + 4$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.4

Réécrivez $4 \sec^{2} (t)$ comme ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2 \sec (t)$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $2 \sec (t)$ à partir de $2 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Étape 2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \tan (t)$ .

$\int {(2 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Étape 2.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $2 (\tan (t))$ .

$\int 2^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Étape 2.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\int 8 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Étape 3

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Étape 4

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$8 \int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Étape 5

Factorisez $\tan^{2} (t)$ .

$8 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Étape 6

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (t)$ comme $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$8 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Étape 7

Simplifiez

$8 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Étape 8

Laissez $u = \sec (t)$ . Alors $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , donc $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = \sec (t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Étape 8.1.2

La dérivée de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$8 \int - 1 + u^{2} d u$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$8 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$8 (- u + C + \int u^{2} d u)$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$8 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$8 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Étape 12.2

Simplifiez

$8 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Étape 13

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 13.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (t)$ .

$8 (- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t)) + C$

Étape 13.2

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$8 (- \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (\frac{x}{2})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \frac{x}{2})$ . Ainsi, $\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ est $\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$8 (- \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Étape 14.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{2}$ .

$8 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Étape 14.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Étape 14.1.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$8 (- \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Étape 14.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 (- \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Étape 14.1.6

Réécrivez $\frac{4 + x^{2}}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

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Étape 14.1.6.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $4 + x^{2}$ .

$8 (- \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Étape 14.1.6.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$8 (- \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Étape 14.1.6.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$8 (- \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Étape 14.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$8 (- (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}}) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Étape 14.1.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Étape 14.1.9

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}^{3}) + C$

Étape 14.1.10

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}}}^{3}) + C$

Étape 14.1.11

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

Étape 14.1.12

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

Étape 14.1.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

Étape 14.1.14

Réécrivez $\frac{4 + x^{2}}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

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Étape 14.1.14.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $4 + x^{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}}}^{3}) + C$

Étape 14.1.14.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}}^{3}) + C$

Étape 14.1.14.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})}}^{3}) + C$

Étape 14.1.15

Extrayez les termes de sous le radical.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}})}^{3}) + C$

Étape 14.1.16

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {(\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2})}^{3}) + C$

Étape 14.1.17

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{2^{3}}) + C$

Étape 14.1.18

Associez.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1 {\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 2^{3}}) + C$

Étape 14.1.19

Multipliez ${\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}$ par $1$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 2^{3}}) + C$

Étape 14.1.20

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 8}) + C$

Étape 14.1.21

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.21.1

Réécrivez ${\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}$ comme $\sqrt{{(4 + x^{2})}^{3}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{{(4 + x^{2})}^{3}}}{3 \cdot 8}) + C$

Étape 14.1.21.2

Factorisez ${(4 + x^{2})}^{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{{(4 + x^{2})}^{2} (4 + x^{2})}}{3 \cdot 8}) + C$

Étape 14.1.21.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{(4 + x^{2}) \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

Étape 14.1.21.4

Appliquez la propriété distributive.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{4 \sqrt{4 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

Étape 14.1.21.5

Factorisez $\sqrt{4 + x^{2}}$ à partir de $4 \sqrt{4 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}$ .

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Étape 14.1.21.5.1

Factorisez $\sqrt{4 + x^{2}}$ à partir de $4 \sqrt{4 + x^{2}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

Étape 14.1.21.5.2

Factorisez $\sqrt{4 + x^{2}}$ à partir de $x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + \sqrt{4 + x^{2}} x^{2}}{3 \cdot 8}) + C$

Étape 14.1.21.5.3

Factorisez $\sqrt{4 + x^{2}}$ à partir de $\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + \sqrt{4 + x^{2}} x^{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3 \cdot 8}) + C$

Étape 14.1.22

Multipliez $3$ par $8$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

Étape 14.2

Pour écrire $- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{12}{12} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

Étape 14.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $24$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 14.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ par $\frac{12}{12}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12}{2 \cdot 12} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

Étape 14.3.2

Multipliez $2$ par $12$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12}{24} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

Étape 14.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24} + C$

Étape 14.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 14.5.1

Factorisez $8$ à partir de $24$ .

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{8 (3)} + C$

Étape 14.5.2

Annulez le facteur commun.

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{8 \cdot 3} + C$

Étape 14.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

Étape 14.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.6.1

Factorisez $\sqrt{4 + x^{2}}$ à partir de $- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})$ .

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Étape 14.6.1.1

Factorisez $\sqrt{4 + x^{2}}$ à partir de $- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12) + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

Étape 14.6.1.2

Factorisez $\sqrt{4 + x^{2}}$ à partir de $\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12) + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12 + 4 + x^{2})}{3} + C$

Étape 14.6.2

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 12 + 4 + x^{2})}{3} + C$

Étape 14.6.3

Additionnez $- 12$ et $4$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 8 + x^{2})}{3} + C$

Étape 14.7

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8) + x^{2})}{3} + C$

Étape 14.8

Factorisez $- 1$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8) - 1 (- x^{2}))}{3} + C$

Étape 14.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (8) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8 - x^{2}))}{3} + C$

Étape 14.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (8 - x^{2})}{3} + C$