Calcul infinitésimal Exemples

$\int \ln (5 x - 4) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (5 x - 4)$ et $d v = 1$ .

$\ln (5 x - 4) x - \int x \frac{5}{5 x - 4} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $x$ et $\frac{5}{5 x - 4}$ .

$\ln (5 x - 4) x - \int \frac{x \cdot 5}{5 x - 4} d x$

Étape 2.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - \int \frac{5 x}{5 x - 4} d x$

Étape 3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (5 x - 4) x - (5 \int \frac{x}{5 x - 4} d x)$

Étape 4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 \int \frac{x}{5 x - 4} d x$

Étape 5

Divisez $x$ par $5 x - 4$ .

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Étape 5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$5 x$

$4$

$x$

$0$

Étape 5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $5 x$ .

					$\frac{1}{5}$
	$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$

Étape 5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$\frac{4}{5}$

Étape 5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x - \frac{4}{5}$

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{4}{5}$

Étape 5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{4}{5}$
					+	$\frac{4}{5}$

Étape 5.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\ln (5 x - 4) x - 5 \int \frac{1}{5} + \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\int \frac{1}{5} d x + \int \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x)$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \int \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x)$

Étape 8

Comme $\frac{4}{5}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{4}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 x - 4} d x)$

Étape 9

Laissez $u = 5 x - 4$ . Alors $d u = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 9.1

Laissez $u = 5 x - 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $5 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 4]$

Étape 9.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 9.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 9.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 9.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 9.1.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 9.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 9.1.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 + 0$

Étape 9.1.4.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$5$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} d u)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{u \cdot 5} d u)$

Étape 10.2

Déplacez $5$ à gauche de $u$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 \cdot u} d u)$

Étape 10.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 u} d u)$

Étape 11

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5} (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u))$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{4}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5 \cdot 5} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 12.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{25} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 13

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{25} (\ln (| u |) + C))$

Étape 14

Simplifiez

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + \frac{4}{25} \ln (| u |)) + C$

Étape 15

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x - 4$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + \frac{4}{25} \ln (| 5 x - 4 |)) + C$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + \frac{4}{25} \ln (| 5 x - 4 |)) + C$

Étape 16.1.2

Associez $\frac{4}{25}$ et $\ln (| 5 x - 4 |)$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

Étape 16.2

Pour écrire $\frac{x}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

Étape 16.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $25$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 16.3.1

Multipliez $\frac{x}{5}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x \cdot 5}{5 \cdot 5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

Étape 16.3.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x \cdot 5}{25} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

Étape 16.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (5 x - 4) x - 5 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25} + C$

Étape 16.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 16.5.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$\ln (5 x - 4) x + 5 (- 1) \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25} + C$

Étape 16.5.2

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\ln (5 x - 4) x + 5 \cdot - 1 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5 \cdot 5} + C$

Étape 16.5.3

Annulez le facteur commun.

$\ln (5 x - 4) x + 5 \cdot - 1 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5 \cdot 5} + C$

Étape 16.5.4

Réécrivez l’expression.

$\ln (5 x - 4) x - \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5} + C$

Étape 16.6

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - \frac{5 x + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5} + C$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (5 x - 4) x - \frac{1}{5} (5 x + 4 \ln (| 5 x - 4 |)) + C$