Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} x^{9} {(1 + x^{10})}^{9} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 + x^{10}$ . Alors $d u = 10 x^{9} d x$ , donc $\frac{1}{10} d u = x^{9} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 + x^{10}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + x^{10}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{10}]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{10}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{10}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{10}]$

Étape 1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{10}]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 10$ .

$0 + 10 x^{9}$

Étape 1.1.5

Additionnez $0$ et $10 x^{9}$ .

$10 x^{9}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 + x^{10}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{10}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 + x^{10}$ .

$u_{upper} = 1 + 1^{10}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 + 1$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{2} u^{9} \frac{1}{10} d u$

Étape 2

Associez $u^{9}$ et $\frac{1}{10}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{9}}{10} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{10}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{10}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{10} \int_{1}^{2} u^{9} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{9}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{10} \frac{1}{10} u^{10}]_{1}^{2}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{1}{10} u^{10}$ sur $2$ et sur $1$ .

$\frac{1}{10} ((\frac{1}{10} \cdot 2^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Élevez $2$ à la puissance $10$ .

$\frac{1}{10} (\frac{1}{10} \cdot 1024 - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Étape 5.2.2

Associez $\frac{1}{10}$ et $1024$ .

$\frac{1}{10} (\frac{1024}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun à $1024$ et $10$ .

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $1024$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 (512)}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Étape 5.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 512}{2 \cdot 5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 512}{2 \cdot 5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Étape 5.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Étape 5.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10} \cdot 1)$

Étape 5.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10})$

Étape 5.2.6

Pour écrire $\frac{512}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{10})$

Étape 5.2.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $10$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.7.1

Multipliez $\frac{512}{5}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1}{10})$

Étape 5.2.7.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512 \cdot 2}{10} - \frac{1}{10})$

Étape 5.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{512 \cdot 2 - 1}{10}$

Étape 5.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.9.1

Multipliez $512$ par $2$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1024 - 1}{10}$

Étape 5.2.9.2

Soustrayez $1$ de $1024$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1023}{10}$

Étape 5.2.10

Multipliez $\frac{1}{10}$ par $\frac{1023}{10}$ .

$\frac{1023}{10 \cdot 10}$

Étape 5.2.11

Multipliez $10$ par $10$ .

$\frac{1023}{100}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1023}{100}$

Forme décimale :

$10.23$

Forme de nombre mixte :

$10 \frac{23}{100}$

Étape 7