Calcul infinitésimal Exemples

$\int x \cos (2 x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \cos (2 x)$ .

$x (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 x)$ .

$x \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Étape 2.2

Associez $x$ et $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x)$

Étape 4

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 5

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

Étape 7

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u) d u$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u) d u$

Étape 8

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C)$

Étape 9

Réécrivez $\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C)$ comme $\frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4} + C$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (2 x)}{4} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x \sin (2 x) + \frac{1}{4} \cos (2 x) + C$