Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \sec (2 x)$ . Alors $d u_{2} = 2 \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \sec (2 x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\sec (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\sec (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Étape 1.1.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} u_{2} + C$

Étape 3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{2} \sec (2 x) + C$