Calcul infinitésimal Exemples

$\int 3 x {(x^{2} - 3)}^{7} d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int x {(x^{2} - 3)}^{7} d x$

Étape 2

Laissez $u = x^{2} - 3$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x^{2} - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 \int u^{7} \frac{1}{2} d u$

Étape 3

Associez $u^{7}$ et $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{u^{7}}{2} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{2} \int u^{7} d u)$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$\frac{3}{2} \int u^{7} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{7}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

Étape 7

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Étape 7.1

Réécrivez $\frac{3}{2} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$ comme $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

Étape 7.2

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{1}{8}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 8} u^{8} + C$

Étape 7.2.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{3}{16} u^{8} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 3$ .

$\frac{3}{16} {(x^{2} - 3)}^{8} + C$