Calcul infinitésimal Exemples

$\int 4 {(4 x + 3)}^{4} d x$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int {(4 x + 3)}^{4} d x$

Étape 2

Laissez $u = 4 x + 3$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 4 x + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$4$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$4 \int u^{4} \frac{1}{4} d u$

Étape 3

Associez $u^{4}$ et $\frac{1}{4}$ .

$4 \int \frac{u^{4}}{4} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{4} \int u^{4} d u)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$\frac{4}{4} \int u^{4} d u$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{4} \int u^{4} d u$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int u^{4} d u$

Étape 5.3

Multipliez $\int u^{4} d u$ par $1$ .

$\int u^{4} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x + 3$ .

$\frac{1}{5} {(4 x + 3)}^{5} + C$