Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x + 4}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x + 4}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x + 4) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x + 4) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int (x + 4) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (x + 4) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4

Développez $(x + 4) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{1 - \frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{2 - 1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.6

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.7

Remettez dans l’ordre $x^{\frac{1}{2}}$ et $4 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9

Simplifiez

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$