Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{2} (x - 8 | x |) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 1}^{2} x - 8 | x | d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} - 8 | x | d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - 8 | x | d x$

Étape 4

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 8$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 \int_{- 1}^{2} | x | d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale selon là où $x$ est positif et négatif.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (\int_{- 1}^{0} - x d x + \int_{0}^{2} x d x)$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (- \int_{- 1}^{0} x d x + \int_{0}^{2} x d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{2} x d x)$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{2} x d x)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2})$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Étape 10.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.2.1

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2}$ sur $2$ et sur $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Étape 10.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $0$ et sur $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Étape 10.2.3

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4

Simplifiez

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Étape 10.2.4.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{4}{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 10.2.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.3.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$2 - \frac{1}{2} \cdot 1 - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 - \frac{1}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.6

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.7

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \cdot 2 - 1}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.4.9.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 - 1}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.9.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{3}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{3}{2} - 8 (- (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.11

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 10.2.4.11.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{3}{2} - 8 (- (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{3}{2} - 8 (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} - 8 (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2} - 8 (- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.11.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{3}{2} - 8 (- (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.12

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{3}{2} - 8 (- (0 - \frac{1}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.13

Soustrayez $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$\frac{3}{2} - 8 (- - \frac{1}{2} + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3}{2} - 8 (1 (\frac{1}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.15

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.16

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.17

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 10.2.4.17.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.17.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.17.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.18

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{0}{2})$

Étape 10.2.4.19

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 10.2.4.19.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 10.2.4.19.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.19.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 10.2.4.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 10.2.4.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{0}{1})$

Étape 10.2.4.19.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - 0)$

Étape 10.2.4.20

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 + 0)$

Étape 10.2.4.21

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2)$

Étape 10.2.4.22

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})$

Étape 10.2.4.23

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})$

Étape 10.2.4.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{2} - 8 \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

Étape 10.2.4.25

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.4.25.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3}{2} - 8 \frac{1 + 4}{2}$

Étape 10.2.4.25.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{5}{2})$

Étape 10.2.4.26

Associez $- 8$ et $\frac{5}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 8 \cdot 5}{2}$

Étape 10.2.4.27

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 40}{2}$

Étape 10.2.4.28

Annulez le facteur commun à $- 40$ et $2$ .

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Étape 10.2.4.28.1

Factorisez $2$ à partir de $- 40$ .

$\frac{3}{2} + \frac{2 \cdot - 20}{2}$

Étape 10.2.4.28.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.28.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{3}{2} + \frac{2 \cdot - 20}{2 (1)}$

Étape 10.2.4.28.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} + \frac{2 \cdot - 20}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.4.28.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2} + \frac{- 20}{1}$

Étape 10.2.4.28.2.4

Divisez $- 20$ par $1$ .

$\frac{3}{2} - 20$

Étape 10.2.4.29

Pour écrire $- 20$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} - 20 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 10.2.4.30

Associez $- 20$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 20 \cdot 2}{2}$

Étape 10.2.4.31

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 - 20 \cdot 2}{2}$

Étape 10.2.4.32

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.4.32.1

Multipliez $- 20$ par $2$ .

$\frac{3 - 40}{2}$

Étape 10.2.4.32.2

Soustrayez $40$ de $3$ .

$\frac{- 37}{2}$

Étape 10.2.4.33

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{37}{2}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{37}{2}$

Forme décimale :

$- 18.5$

Forme de nombre mixte :

$- 18 \frac{1}{2}$

Étape 12