Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{2} \sqrt{x + 1} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = \sqrt{x + 1}$ .

$x^{2} (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{2} \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Étape 2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Étape 3

Comme $\frac{2}{3} \cdot 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3} \cdot 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 2 \int {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Étape 4

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Étape 4.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{3} \int {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

Étape 5

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (u - 1) d u$

Étape 6

Développez $u^{\frac{3}{2}} (u - 1)$ .

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} \cdot - 1 d u$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $u^{\frac{3}{2}}$ et $- 1$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u - 1 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 6.3

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u^{1} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + 1} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 6.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 6.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3 + 2}{2}} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 6.7

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 7

Réécrivez $- 1 u^{\frac{3}{2}}$ comme $- u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\int u^{\frac{5}{2}} d u + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C - \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Étape 12

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Étape 12.1

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Étape 12.1.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Étape 12.1.2

Associez $\frac{2}{7}$ et $u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Étape 12.2

Simplifiez

$\frac{2}{3} x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 12.3

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Étape 12.3.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 12.3.2

Associez $\frac{2 x^{2}}{3}$ et ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 12.3.3

Pour écrire $- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Étape 12.3.4

Associez $- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C$

Étape 12.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C$

Étape 12.3.6

Associez $\frac{2}{7}$ et $u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C$

Étape 12.3.7

Associez $u^{\frac{5}{2}}$ et $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) \cdot 3}{3} + C$

Étape 12.3.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 (\frac{4}{3}) (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

Étape 12.3.9

Associez $- 3$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 \cdot 4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

Étape 12.3.10

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

Étape 12.3.11

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $3$ .

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Étape 12.3.11.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

Étape 12.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.3.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

Étape 12.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

Étape 12.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

Étape 12.3.11.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

Étape 12.3.12

Déplacez $2$ à gauche de $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} (2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2}{7} {(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} {(x + 1)}^{\frac{5}{2}})) + C$