Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\ln (5 x)}{x} d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \ln (5 x)$ . Alors $d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \ln (5 x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\ln (5 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 x$ .

$\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.3.2.1

Associez $5$ et $\frac{1}{5 x}$ .

$\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int u_{2} d u_{2}$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\ln (5 x)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (5 x) + C$