Calcul infinitésimal Exemples

$\int e^{2 x} {(1 + e^{2 x})}^{3} d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = 1 + e^{2 x}$ . Alors $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = 1 + e^{2 x}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$0 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + e^{2 x} \cdot 2$

Étape 1.1.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$0 + 2 e^{2 x}$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $2 e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{3} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2

Associez ${u_{2}}^{3}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{3}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} {u_{2}}^{4} + C$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{4} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + e^{2 x}$ .

$\frac{1}{8} {(1 + e^{2 x})}^{4} + C$