Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 + \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- d u = \sin (x) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 + \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Étape 1.1.4

Soustrayez $\sin (x)$ de $0$ .

$- \sin (x)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u$

Étape 2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{1}{u} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C)$

Étape 5

Simplifiez

$- \ln (| u |) + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + \cos (x)$ .

$- \ln (| 1 + \cos (x) |) + C$