Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 x^{2} + 7 x - 3}{x - 2} d x$

Étape 1

Divisez $2 x^{2} + 7 x - 3$ par $x - 2$ .

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Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{2}$

$7 x$

$3$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x$
	$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{2} - 4 x$

				$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$11 x$

Étape 1.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$11 x$	-	$3$

Étape 1.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $11 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$11 x$	-	$3$

Étape 1.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$11 x$	-	$3$
					+	$11 x$	-	$22$

Étape 1.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $11 x - 22$

				$2 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$11 x$	-	$3$
					-	$11 x$	+	$22$

Étape 1.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$11 x$	-	$3$
					-	$11 x$	+	$22$
							+	$19$

Étape 1.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 2 x + 11 + \frac{19}{x - 2} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 x d x + \int 11 d x + \int \frac{19}{x - 2} d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int x d x + \int 11 d x + \int \frac{19}{x - 2} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 11 d x + \int \frac{19}{x - 2} d x$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 11 x + C + \int \frac{19}{x - 2} d x$

Étape 6

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + \int \frac{19}{x - 2} d x$

Étape 7

Comme $19$ est constant par rapport à $x$ , placez $19$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 19 \int \frac{1}{x - 2} d x$

Étape 8

Laissez $u = x - 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 8.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 8.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 8.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 19 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 19 (\ln (| u |) + C)$

Étape 10

Simplifiez

$x^{2} + 11 x + 19 \ln (| u |) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$x^{2} + 11 x + 19 \ln (| x - 2 |) + C$