Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{z}{e^{z}} d z$

Étape 1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1

Inversez l’exposant de $e^{z}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int z {(e^{z})}^{- 1} d z$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{z})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int z e^{z \cdot - 1} d z$

Étape 1.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $z$ .

$\int z e^{- 1 \cdot z} d z$

Étape 1.2.3

Réécrivez $- 1 z$ comme $- z$ .

$\int z e^{- z} d z$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = z$ et $d v = e^{- z}$ .

$z (- e^{- z}) - \int - e^{- z} d z$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $z$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$z (- e^{- z}) - - \int e^{- z} d z$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$z (- e^{- z}) + 1 \int e^{- z} d z$

Étape 4.2

Multipliez $\int e^{- z} d z$ par $1$ .

$z (- e^{- z}) + \int e^{- z} d z$

Étape 5

Laissez $u = - z$ . Alors $d u = - d z$ , donc $- d u = d z$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = - z$ . Déterminez $\frac{d u}{d z}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $- z$ .

$\frac{d}{d z} [- z]$

Étape 5.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- z$ par rapport à $z$ est $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$- \frac{d}{d z} [z]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$z (- e^{- z}) + \int - e^{u} d u$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$z (- e^{- z}) - \int e^{u} d u$

Étape 7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$z (- e^{- z}) - (e^{u} + C)$

Étape 8

Réécrivez $z (- e^{- z}) - (e^{u} + C)$ comme $- z e^{- z} - e^{u} + C$ .

$- z e^{- z} - e^{u} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- z$ .

$- z e^{- z} - e^{- z} + C$