Calcul infinitésimal Exemples

$\int \arctan (2 t) d t$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \arctan (2 t)$ et $d v = 1$ .

$\arctan (2 t) t - \int t \frac{2}{4 t^{2} + 1} d t$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $t$ et $\frac{2}{4 t^{2} + 1}$ .

$\arctan (2 t) t - \int \frac{t \cdot 2}{4 t^{2} + 1} d t$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $t$ .

$\arctan (2 t) t - \int \frac{2 t}{4 t^{2} + 1} d t$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\arctan (2 t) t - (2 \int \frac{t}{4 t^{2} + 1} d t)$

Étape 4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\arctan (2 t) t - 2 \int \frac{t}{4 t^{2} + 1} d t$

Étape 5

Laissez $u = 4 t^{2} + 1$ . Alors $d u = 8 t d t$ , donc $\frac{1}{8} d u = t d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 4 t^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $4 t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{2} + 1]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 t^{2} + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [4 t^{2}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4 t^{2}$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 t) + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 t + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$8 t + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $8 t$ et $0$ .

$8 t$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\arctan (2 t) t - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{8}$ .

$\arctan (2 t) t - 2 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Étape 6.2

Déplacez $8$ à gauche de $u$ .

$\arctan (2 t) t - 2 \int \frac{1}{8 u} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\arctan (2 t) t - 2 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $- 2$ .

$\arctan (2 t) t + \frac{- 2}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $8$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\arctan (2 t) t + \frac{2 (- 1)}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\arctan (2 t) t + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\arctan (2 t) t + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\arctan (2 t) t + \frac{- 1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\arctan (2 t) t - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\arctan (2 t) t - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Étape 10

Simplifiez

$\arctan (2 t) t - \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 t^{2} + 1$ .

$\arctan (2 t) t - \frac{1}{4} \ln (| 4 t^{2} + 1 |) + C$