Calcul infinitésimal Exemples

Évaluer l'intégrale intégrale de 1/(4-x^2) par rapport à x
Étape 1
Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.
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Étape 1.1
Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.
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Étape 1.1.1
Factorisez la fraction.
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Étape 1.1.1.1
Réécrivez comme .
Étape 1.1.1.2
Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, et .
Étape 1.1.2
Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place .
Étape 1.1.3
Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place .
Étape 1.1.4
Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est .
Étape 1.1.5
Annulez le facteur commun de .
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Étape 1.1.5.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.5.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.1.6
Annulez le facteur commun de .
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Étape 1.1.6.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.6.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.1.7
Simplifiez chaque terme.
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Étape 1.1.7.1
Annulez le facteur commun de .
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Étape 1.1.7.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.7.1.2
Divisez par .
Étape 1.1.7.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.7.3
Déplacez à gauche de .
Étape 1.1.7.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.1.7.5
Annulez le facteur commun de .
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Étape 1.1.7.5.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.7.5.2
Divisez par .
Étape 1.1.7.6
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.7.7
Déplacez à gauche de .
Étape 1.1.8
Simplifiez l’expression.
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Étape 1.1.8.1
Déplacez .
Étape 1.1.8.2
Remettez dans l’ordre et .
Étape 1.1.8.3
Déplacez .
Étape 1.1.8.4
Déplacez .
Étape 1.2
Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.
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Étape 1.2.1
Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.
Étape 1.2.2
Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.
Étape 1.2.3
Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.
Étape 1.3
Résolvez le système d’équations.
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Étape 1.3.1
Résolvez dans .
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Étape 1.3.1.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 1.3.1.2
Réécrivez comme .
Étape 1.3.1.3
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.3.2
Remplacez toutes les occurrences de par dans chaque équation.
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Étape 1.3.2.1
Remplacez toutes les occurrences de dans par .
Étape 1.3.2.2
Simplifiez le côté droit.
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Étape 1.3.2.2.1
Additionnez et .
Étape 1.3.3
Résolvez dans .
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Étape 1.3.3.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 1.3.3.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
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Étape 1.3.3.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.3.3.2.2
Simplifiez le côté gauche.
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Étape 1.3.3.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
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Étape 1.3.3.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.3.3.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 1.3.4
Remplacez toutes les occurrences de par dans chaque équation.
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Étape 1.3.4.1
Remplacez toutes les occurrences de dans par .
Étape 1.3.4.2
Simplifiez le côté gauche.
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Étape 1.3.4.2.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 1.3.5
Indiquez toutes les solutions.
Étape 1.4
Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans par les valeurs trouvées pour et .
Étape 1.5
Simplifiez
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Étape 1.5.1
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 1.5.2
Multipliez par .
Étape 1.5.3
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 1.5.4
Multipliez par .
Étape 2
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 3
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 4
Laissez . Puis . Réécrivez avec et .
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Étape 4.1
Laissez . Déterminez .
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Étape 4.1.1
Différenciez .
Étape 4.1.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.5
Additionnez et .
Étape 4.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 5
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 6
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 7
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
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Étape 7.1
Laissez . Déterminez .
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Étape 7.1.1
Réécrivez.
Étape 7.1.2
Divisez par .
Étape 7.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 8
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 9
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 10
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 11
Simplifiez
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Étape 11.1
Simplifiez
Étape 11.2
Associez et .
Étape 12
Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.
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Étape 12.1
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 12.2
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 13
Remettez les termes dans l’ordre.