Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 27}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 27}$ comme ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 27$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 27$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 27$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Étape 1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Étape 1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Étape 1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Étape 1.7.3

Placez ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Étape 1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 27$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (27))$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (27))$

Étape 1.10

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Étape 1.11

Simplifiez les termes.

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Étape 1.11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)$

Étape 1.11.2

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Étape 1.11.3

Associez $\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.4

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.5

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 27}$

Étape 2.3

Simplifiez

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 27}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 27}$

Étape 2.4.2

Multipliez ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 27}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 27$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 27$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 27$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Étape 2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Étape 2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Étape 2.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Étape 2.10

Associez les fractions.

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Étape 2.10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Étape 2.10.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Étape 2.10.3

Placez ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Étape 2.10.4

Associez $\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)}{x^{2} + 27}$

Étape 2.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 27$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (27))}{x^{2} + 27}$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (27))}{x^{2} + 27}$

Étape 2.13

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 27}$

Étape 2.14

Associez les fractions.

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Étape 2.14.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 27}$

Étape 2.14.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 27}$

Étape 2.14.3

Associez $- 2$ et $\frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 27}$

Étape 2.14.4

Associez $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Étape 2.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Étape 2.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Étape 2.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Étape 2.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Étape 2.19

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Étape 2.20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.20.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 27}$

Étape 2.20.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Étape 2.20.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Étape 2.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Étape 2.22

Pour écrire ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Étape 2.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Étape 2.24

Multipliez ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.24.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Étape 2.24.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Étape 2.24.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Étape 2.24.4

Divisez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 27) - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Étape 2.25

Simplifiez ${(x^{2} + 27)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 27 - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Étape 2.26

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Étape 2.27

Additionnez $0$ et $27$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Étape 2.28

Réécrivez $\frac{\frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$ comme un produit.

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 27}$

Étape 2.29

Multipliez $\frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x^{2} + 27}$ .

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 27)}$

Étape 2.30

Multipliez ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2} + 27$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.30.1

Multipliez ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2} + 27$ .

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Étape 2.30.1.1

Élevez $x^{2} + 27$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 27)}$

Étape 2.30.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 2.30.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 2.30.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 2.30.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1.1

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}$ par rapport à $x$ est $27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}})$

Étape 3.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}$ comme ${({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} ({({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})$

Étape 3.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1})$

Étape 3.1.2.2.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 3.1.2.2.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}})$

Étape 3.1.2.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{- 3}{2}})$

Étape 3.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2}})$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 27$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 27$ .

$f''' (x) = 27 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 27$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Étape 3.6.2

Soustrayez $2$ de $- 3$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Étape 3.7

Associez les fractions.

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Étape 3.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Étape 3.7.2

Associez ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}}$ et $\frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{{(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Étape 3.7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.3.1

Déplacez $3$ à gauche de ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3 \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Étape 3.7.3.2

Placez ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Étape 3.7.3.3

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$f''' (x) = - 27 (\frac{3}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Étape 3.7.4

Associez $\frac{3}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$ et $- 27$ .

$f''' (x) = \frac{3 \cdot - 27}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Étape 3.7.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.5.1

Multipliez $3$ par $- 27$ .

$f''' (x) = \frac{- 81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Étape 3.7.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = - \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Étape 3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 27$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f''' (x) = - \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (27))$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f''' (x) = - \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (27))$

Étape 3.10

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f''' (x) = - \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Étape 3.11

Simplifiez les termes.

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Étape 3.11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f''' (x) = - \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x)$

Étape 3.11.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Étape 3.11.3

Associez $- 2$ et $\frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$f''' (x) = \frac{- 2 \cdot 81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Étape 3.11.4

Multipliez $- 2$ par $81$ .

$f''' (x) = \frac{- 162}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Étape 3.11.5

Associez $\frac{- 162}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$ et $x$ .

$f''' (x) = \frac{- 162 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.11.6

Factorisez $2$ à partir de $- 162 x$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 81 x)}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 81 x)}{2 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}})}$

Étape 3.12.2

Annulez le facteur commun.

$f''' (x) = \frac{2 (- 81 x)}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.12.3

Réécrivez l’expression.

$f''' (x) = \frac{- 81 x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = - \frac{81 x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $- 81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{81 x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- 81 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 4.2

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{({(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}})}^{2}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.3.3

Multipliez ${(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}$ par $1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 27$ .

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Étape 4.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 27$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{5}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 27$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.8.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.9

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.9.1

Associez $\frac{5}{2}$ et ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.9.2

Associez $\frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ et $x$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 27$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.12

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.13

Associez les fractions.

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Étape 4.13.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x)}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.13.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - 2 \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.13.3

Associez $- 2$ et $\frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 2 (5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.13.4

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.13.5

Associez $\frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x)}{2}$ et $x$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x) x}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{1 + 1})}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.17

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.18

Factorisez $2$ à partir de $- 10 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.19.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 (1)}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.19.2

Annulez le facteur commun.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.19.3

Réécrivez l’expression.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{1}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.19.4

Divisez $- 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ par $1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.20

Factorisez ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ à partir de ${(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ .

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Étape 4.20.1

Déplacez ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - 5 x^{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.20.2

Factorisez ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ à partir de ${(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.20.3

Factorisez ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ à partir de $- 5 x^{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (- 5 x^{2})}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.20.4

Factorisez ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ à partir de ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (- 5 x^{2})$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.21

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.21.1

Annulez le facteur commun.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.21.2

Réécrivez l’expression.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} ((x^{2} + 27) - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.22

Simplifiez

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} + 27 - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.23

Soustrayez $5 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (- 4 x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Étape 4.24

Placez ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{5} {(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2}}}$

Étape 4.25

Multipliez ${(x^{2} + 27)}^{5}$ par ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.25.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{5 - \frac{3}{2}}}$

Étape 4.25.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Étape 4.25.3

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Étape 4.25.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5 \cdot 2 - 3}{2}}}$

Étape 4.25.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.25.5.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{10 - 3}{2}}}$

Étape 4.25.5.2

Soustrayez $3$ de $10$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.26

Associez $- 81$ et $\frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 81 (- 4 x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.27

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{4} (x) = - \frac{(81) (- 4 x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.28

Simplifiez

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Étape 4.28.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- 4 x^{2}) + 81 \cdot 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.28.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.28.2.1

Multipliez $- 4$ par $81$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 324 x^{2} + 81 \cdot 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.28.2.2

Multipliez $81$ par $27$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 324 x^{2} + 2187}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.28.3

Factorisez $81$ à partir de $- 324 x^{2} + 2187$ .

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Étape 4.28.3.1

Factorisez $81$ à partir de $- 324 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- 4 x^{2}) + 2187}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.28.3.2

Factorisez $81$ à partir de $2187$ .

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- 4 x^{2}) + 81 (27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.28.3.3

Factorisez $81$ à partir de $81 (- 4 x^{2}) + 81 (27)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- 4 x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.28.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- (4 x^{2}) + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.28.5

Réécrivez $27$ comme $- 1 (- 27)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- (4 x^{2}) - 1 \cdot - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.28.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{2}) - 1 (- 27)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- (4 x^{2} - 27))}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.28.7

Réécrivez $- (4 x^{2} - 27)$ comme $- 1 (4 x^{2} - 27)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- 1 (4 x^{2} - 27))}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.28.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{4} (x) = \frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.28.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (\frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}})$

Étape 4.28.10

Multipliez $\frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$ par $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$\frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$