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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 1.1.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.1.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance.
Étape 1.2.1
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.2.2
Simplifiez l’expression.
Étape 1.2.2.1
Multipliez par .
Étape 1.2.2.2
Réorganisez les facteurs de .
Étape 2
Étape 2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est où et .
Étape 2.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 2.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.3.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.5
Élevez à la puissance .
Étape 2.6
Élevez à la puissance .
Étape 2.7
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.8
Simplifiez l’expression.
Étape 2.8.1
Additionnez et .
Étape 2.8.2
Déplacez à gauche de .
Étape 2.9
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.10
Multipliez par .
Étape 2.11
Simplifiez
Étape 2.11.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.11.2
Multipliez par .
Étape 3
Étape 3.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.2
Évaluez .
Étape 3.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.2.2
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est où et .
Étape 3.2.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 3.2.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 3.2.3.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 3.2.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 3.2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.2.5
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.2.6
Multipliez par .
Étape 3.2.7
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.2.7.1
Déplacez .
Étape 3.2.7.2
Multipliez par .
Étape 3.2.7.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 3.2.7.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.2.7.3
Additionnez et .
Étape 3.3
Évaluez .
Étape 3.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.3.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 3.3.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 3.3.2.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 3.3.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 3.3.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.3.4
Multipliez par .
Étape 3.4
Simplifiez
Étape 3.4.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.4.2
Associez des termes.
Étape 3.4.2.1
Multipliez par .
Étape 3.4.2.2
Multipliez par .
Étape 3.4.2.3
Soustrayez de .
Étape 3.4.3
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 4
Étape 4.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.2
Évaluez .
Étape 4.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.2.2
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est où et .
Étape 4.2.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 4.2.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 4.2.3.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 4.2.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 4.2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.2.5
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.2.6
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 4.2.6.1
Déplacez .
Étape 4.2.6.2
Multipliez par .
Étape 4.2.6.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 4.2.6.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 4.2.6.3
Additionnez et .
Étape 4.2.7
Déplacez à gauche de .
Étape 4.3
Évaluez .
Étape 4.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.2
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est où et .
Étape 4.3.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 4.3.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 4.3.3.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 4.3.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.3.5
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.3.6
Multipliez par .
Étape 4.3.7
Élevez à la puissance .
Étape 4.3.8
Élevez à la puissance .
Étape 4.3.9
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 4.3.10
Additionnez et .
Étape 4.3.11
Multipliez par .
Étape 4.4
Simplifiez
Étape 4.4.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.4.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.4.3
Associez des termes.
Étape 4.4.3.1
Multipliez par .
Étape 4.4.3.2
Multipliez par .
Étape 4.4.3.3
Multipliez par .
Étape 4.4.3.4
Additionnez et .
Étape 4.4.3.4.1
Déplacez .
Étape 4.4.3.4.2
Additionnez et .