Calcul infinitésimal Exemples

Évaluer l'intégrale intégrale de x logarithme népérien de 3+x par rapport à x
Étape 1
Intégrez par parties en utilisant la formule , où et .
Étape 2
Simplifiez
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Étape 2.1
Associez et .
Étape 2.2
Associez et .
Étape 3
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 4
Associez et .
Étape 5
Divisez par .
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Étape 5.1
Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de .
+++
Étape 5.2
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
+++
Étape 5.3
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
+++
++
Étape 5.4
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
+++
--
Étape 5.5
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
+++
--
-
Étape 5.6
Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.
+++
--
-+
Étape 5.7
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
-
+++
--
-+
Étape 5.8
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
-
+++
--
-+
--
Étape 5.9
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
-
+++
--
-+
++
Étape 5.10
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
-
+++
--
-+
++
+
Étape 5.11
La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.
Étape 6
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 7
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 8
Appliquez la règle de la constante.
Étape 9
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 10
Laissez . Puis . Réécrivez avec et .
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Étape 10.1
Laissez . Déterminez .
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Étape 10.1.1
Différenciez .
Étape 10.1.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 10.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 10.1.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 10.1.5
Additionnez et .
Étape 10.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 11
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 12
Simplifiez
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Étape 12.1
Simplifiez
Étape 12.2
Simplifiez
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Étape 12.2.1
Associez et .
Étape 12.2.2
Associez et .
Étape 12.2.3
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 12.2.4
Associez et .
Étape 12.2.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 12.2.6
Associez et .
Étape 12.2.7
Multipliez par .
Étape 12.2.8
Associez et .
Étape 12.2.9
Annulez le facteur commun à et .
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Étape 12.2.9.1
Factorisez à partir de .
Étape 12.2.9.2
Annulez les facteurs communs.
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Étape 12.2.9.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 12.2.9.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 12.2.9.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 12.2.9.2.4
Divisez par .
Étape 13
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 14
Simplifiez
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Étape 14.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 14.2
Associez et .
Étape 14.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 14.4
Multipliez par .
Étape 14.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 14.6
Multipliez par .
Étape 15
Remettez les termes dans l’ordre.