Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{e} \ln (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = 1$ .

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e})$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $\ln (x) x$ sur $e$ et sur $1$ .

$(\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e})$

Étape 4.2

Évaluez $x$ sur $e$ et sur $1$ .

$(\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1)$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$1 e - \ln (1) - (e - 1)$

Étape 5.1.2

Multipliez $e$ par $1$ .

$e - \ln (1) - (e - 1)$

Étape 5.1.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$e - 0 - (e - 1)$

Étape 5.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e + 0 - (e - 1)$

Étape 5.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$e + 0 - e - - 1$

Étape 5.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e + 0 - e + 1$

Étape 5.2

Additionnez $e$ et $0$ .

$e - e + 1$

Étape 5.3

Soustrayez $e$ de $e$ .

$0 + 1$

Étape 5.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$