Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 100}} d x$

Étape 1

Laissez $x = 10 \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 10 \sec^{2} (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $10 \sec^{2} (t)$ est positif.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(10 \tan (t))}^{2} + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{{(10 \tan (t))}^{2} + 100}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $10 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{10^{2} \tan^{2} (t) + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{100 \tan^{2} (t) + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $100$ à partir de $100 \tan^{2} (t) + 100$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $100$ à partir de $100 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{100 (\tan^{2} (t)) + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $100$ à partir de $100$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{100 (\tan^{2} (t)) + 100 (1)}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $100$ à partir de $100 (\tan^{2} (t)) + 100 (1)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{100 (\tan^{2} (t) + 1)}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{\sqrt{100 \sec^{2} (t)}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.4

Réécrivez $100 \sec^{2} (t)$ comme ${(10 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(10 \sec (t))}^{2}}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{1}{10 \sec (t)} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $10 \sec (t)$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $10 \sec (t)$ à partir de $10 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{10 \sec (t)} (10 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{10 \sec (t)} (10 \sec (t) \sec (t)) d t$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \sec (t) d t$

Étape 3

L’intégrale de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arctan (\frac{x}{10})$ .

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{10})) + \tan (\arctan (\frac{x}{10})) |) + C$

Étape 5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{10} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{10} x)) |) + C$