Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} 2 x e^{x} d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{0}^{1} x e^{x} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$2 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x)$

Étape 3

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$2 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $x e^{x}$ sur $1$ et sur $0$ .

$2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Étape 4.2

Évaluez $e^{x}$ sur $1$ et sur $0$ .

$2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez

$2 (1 e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Étape 4.3.2

Multipliez $e$ par $1$ .

$2 (e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Étape 4.3.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$2 (e + 0 \cdot 1 - ((e^{1}) - e^{0}))$

Étape 4.3.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$2 (e + 0 - ((e^{1}) - e^{0}))$

Étape 4.3.5

Additionnez $e$ et $0$ .

$2 (e - ((e^{1}) - e^{0}))$

Étape 4.3.6

Simplifiez

$2 (e - (e - e^{0}))$

Étape 4.3.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$2 (e - (e - 1 \cdot 1))$

Étape 4.3.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 (e - (e - 1))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (e - e - - 1)$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 (e - e + 1)$

Étape 5.2

Soustrayez $e$ de $e$ .

$2 (0 + 1)$

Étape 5.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 5.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 6