Calcul infinitésimal Exemples

$2 x y + y^{2} = x + y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (2 x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 (x y' + y) + 2 y y'$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x y') + 2 y + 2 y y'$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x y' + 2 y y' + 2 y$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 + y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x y' + 2 y y' + 2 y = 1 + y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $y'$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y' + 2 y y' + 2 y - y' = 1$

Étape 5.2

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y' + 2 y y' - y' = 1 - 2 y$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $2 x y' + 2 y y' - y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $2 x y'$ .

$y' (2 x) + 2 y y' - y' = 1 - 2 y$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $2 y y'$ .

$y' (2 x) + y' (2 y) - y' = 1 - 2 y$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' (2 x) + y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 y$

Étape 5.3.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 x) + y' (2 y)$ .

$y' (2 x + 2 y) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 y$

Étape 5.3.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 x + 2 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 y$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 y$ par $2 x + 2 y - 1$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 y$ par $2 x + 2 y - 1$ .

$\frac{y' (2 x + 2 y - 1)}{2 x + 2 y - 1} = \frac{1}{2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2 x + 2 y - 1$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 x + 2 y - 1)}{2 x + 2 y - 1} = \frac{1}{2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{1 - 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{2 x + 2 y - 1}$