Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (x^{2} y^{2}) = x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\sin (x^{2} y^{2})) = \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{2} y^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} y^{2}$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

Étape 2.7

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x)$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y') + \cos (x^{2} y^{2}) (2 y^{2} x)$

Étape 2.8.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) y' + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) y' + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}) = 1$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) y' + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ .

$2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}) = 1$

Étape 5.2

Soustrayez $2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) = 1 - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) = 1 - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ par $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) = 1 - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ par $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})$ .

$\frac{2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2})}{x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2})}{x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' \cos (x^{2} y^{2})}{y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' \cos (x^{2} y^{2})}{y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Étape 5.3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' \cos (x^{2} y^{2})}{\cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $\cos (x^{2} y^{2})$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \cos (x^{2} y^{2})}{\cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Étape 5.3.2.4.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Séparez les fractions.

$y' = \frac{1}{2 x^{2} y} \cdot \frac{1}{\cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x^{2} y^{2})}$ à $\sec (x^{2} y^{2})$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{2} y} \sec (x^{2} y^{2}) + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.3

Associez $\frac{1}{2 x^{2} y}$ et $\sec (x^{2} y^{2})$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 5.3.3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{2 (- y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}))}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{2 (- y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}))}{2 (x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}))}$

Étape 5.3.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{2 (- y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}))}{2 (x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}))}$

Étape 5.3.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.5

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 5.3.3.1.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{y (- y x \cos (x^{2} y^{2}))}{x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.5.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{y (- y x \cos (x^{2} y^{2}))}{y (x^{2} \cos (x^{2} y^{2}))}$

Étape 5.3.3.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{y (- y x \cos (x^{2} y^{2}))}{y (x^{2} \cos (x^{2} y^{2}))}$

Étape 5.3.3.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- y x \cos (x^{2} y^{2})}{x^{2} \cos (x^{2} y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.6

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 5.3.3.1.6.1

Factorisez $x$ à partir de $- y x \cos (x^{2} y^{2})$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{x (- y \cos (x^{2} y^{2}))}{x^{2} \cos (x^{2} y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.6.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \cos (x^{2} y^{2})$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{x (- y \cos (x^{2} y^{2}))}{x (x \cos (x^{2} y^{2}))}$

Étape 5.3.3.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{x (- y \cos (x^{2} y^{2}))}{x (x \cos (x^{2} y^{2}))}$

Étape 5.3.3.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- y \cos (x^{2} y^{2})}{x \cos (x^{2} y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.7

Annulez le facteur commun de $\cos (x^{2} y^{2})$ .

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Étape 5.3.3.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- y \cos (x^{2} y^{2})}{x \cos (x^{2} y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- y}{x}$

Étape 5.3.3.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} - \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} - \frac{y}{x}$