Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{9}{8 \sqrt[4]{x^{3}}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{8 x^{\frac{3}{4}}}]$

Étape 2

Comme $\frac{9}{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{9}{8 x^{\frac{3}{4}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{9}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}]$ .

$\frac{9}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}]$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ comme ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

$\frac{9}{8} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}]$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{8} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4} \cdot - 1}]$

Étape 3.2.2

Multipliez $\frac{3}{4} \cdot - 1$ .

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Étape 3.2.2.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $- 1$ .

$\frac{9}{8} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{4}}]$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{9}{8} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{4}}]$

Étape 3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9}{8} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{4}}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{3}{4}$ .

$\frac{9}{8} (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1})$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{8} (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{8} (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9}{8} (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{9}{8} (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 4}{4}})$

Étape 8.2

Soustrayez $4$ de $- 3$ .

$\frac{9}{8} (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 7}{4}})$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9}{8} (- \frac{3}{4} x^{- \frac{7}{4}})$

Étape 10

Associez $x^{- \frac{7}{4}}$ et $\frac{3}{4}$ .

$\frac{9}{8} (- \frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4})$

Étape 11

Multipliez $\frac{9}{8}$ par $\frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4}$ .

$- \frac{9 (x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3)}{8 \cdot 4}$

Étape 12

Multipliez.

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Étape 12.1

Multipliez $3$ par $9$ .

$- \frac{27 x^{- \frac{7}{4}}}{8 \cdot 4}$

Étape 12.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$- \frac{27 x^{- \frac{7}{4}}}{32}$

Étape 12.3

Placez $x^{- \frac{7}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{27}{32 x^{\frac{7}{4}}}$