Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6.3.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6.3.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} + 2 x - 2 x^{3}$ .

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Étape 6.3.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6.3.2.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$