Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\frac{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}{7 x^{9}})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}{7 x^{9}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}{7 x^{9}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}{7 x^{9}}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}{7 x^{9}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}{7 x^{9}}$ .

$\frac{1}{\frac{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}{7 x^{9}}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}{7 x^{9}}]$

Étape 2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}{7 x^{9}}$ .

$1 \frac{7 x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}{7 x^{9}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{7 x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}$ par $1$ .

$\frac{7 x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}{7 x^{9}}]$

Étape 3.2

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}{7 x^{9}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}{x^{9}}]$ .

$\frac{7 x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} (\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}{x^{9}}])$

Étape 3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{7 x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}$ .

$\frac{7 x^{9}}{7 (e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7})} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}{x^{9}}]$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x^{9}}{7 e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}{x^{9}}]$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}{x^{9}}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}$ et $g (x) = x^{9}$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{9} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}] - e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{9}]}{{(x^{9})}^{2}}$

Étape 5

Multipliez les exposants dans ${(x^{9})}^{2}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{9} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}] - e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{9 \cdot 2}}$

Étape 5.2

Multipliez $9$ par $2$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{9} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}] - e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x^{2}}$ et $g (x) = {(3 x - 2)}^{7}$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{9} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{7}] + {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]) - e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = 3 x - 2$ .

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Étape 7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x - 2$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{9} (e^{x^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]) - e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Étape 7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{9} (e^{x^{2}} (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]) - e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Étape 7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x - 2$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{9} (e^{x^{2}} (7 {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]) - e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Étape 8

Différenciez.

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Étape 8.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{9} (e^{x^{2}} (7 {(3 x - 2)}^{6} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]) - e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Étape 8.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{9} (e^{x^{2}} (7 {(3 x - 2)}^{6} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]) - e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Étape 8.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{9} (e^{x^{2}} (7 {(3 x - 2)}^{6} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]) - e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Étape 8.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{9} (e^{x^{2}} (7 {(3 x - 2)}^{6} (3 + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]) - e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Étape 8.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{9} (e^{x^{2}} (7 {(3 x - 2)}^{6} (3 + 0)) + {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]) - e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Étape 8.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{9} (e^{x^{2}} (7 {(3 x - 2)}^{6} \cdot 3) + {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]) - e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Étape 8.6.2

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{9} (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6}) + {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]) - e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 9.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $x^{2}$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{9} (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6}) + {(3 x - 2)}^{7} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2}])) - e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Étape 9.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{9} (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6}) + {(3 x - 2)}^{7} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}])) - e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Étape 9.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{9} (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6}) + {(3 x - 2)}^{7} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])) - e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 10.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{9} (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6}) + {(3 x - 2)}^{7} e^{x^{2}} (2 x)) - e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Étape 10.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{9} (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6}) + {(3 x - 2)}^{7} e^{x^{2}} (2 x)) - e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} (9 x^{8})}{x^{18}}$

Étape 10.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 10.3.1

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{9} (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6}) + {(3 x - 2)}^{7} e^{x^{2}} (2 x)) - 9 e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x^{8}}{x^{18}}$

Étape 10.3.2

Factorisez $x^{8}$ à partir de $x^{9} (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6}) + {(3 x - 2)}^{7} e^{x^{2}} (2 x)) - 9 e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x^{8}$ .

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Étape 10.3.2.1

Factorisez $x^{8}$ à partir de $x^{9} (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6}) + {(3 x - 2)}^{7} e^{x^{2}} (2 x))$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{8} (x (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6}) + {(3 x - 2)}^{7} e^{x^{2}} (2 x))) - 9 e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x^{8}}{x^{18}}$

Étape 10.3.2.2

Factorisez $x^{8}$ à partir de $- 9 e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x^{8}$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{8} (x (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6}) + {(3 x - 2)}^{7} e^{x^{2}} (2 x))) + x^{8} (- 9 e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7})}{x^{18}}$

Étape 10.3.2.3

Factorisez $x^{8}$ à partir de $x^{8} (x (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6}) + {(3 x - 2)}^{7} e^{x^{2}} (2 x))) + x^{8} (- 9 e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7})$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{8} (x (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6}) + {(3 x - 2)}^{7} e^{x^{2}} (2 x)) - 9 e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7})}{x^{18}}$

Étape 11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1

Factorisez $x^{8}$ à partir de $x^{18}$ .

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{8} (x (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6}) + {(3 x - 2)}^{7} e^{x^{2}} (2 x)) - 9 e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7})}{x^{8} x^{10}}$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x^{8} (x (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6}) + {(3 x - 2)}^{7} e^{x^{2}} (2 x)) - 9 e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7})}{x^{8} x^{10}}$

Étape 11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}} \cdot \frac{x (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6}) + {(3 x - 2)}^{7} e^{x^{2}} (2 x)) - 9 e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}{x^{10}}$

Étape 12

Multipliez $\frac{x^{9}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}$ par $\frac{x (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6}) + {(3 x - 2)}^{7} e^{x^{2}} (2 x)) - 9 e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}{x^{10}}$ .

$\frac{x^{9} (x (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6}) + {(3 x - 2)}^{7} e^{x^{2}} (2 x)) - 9 e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7})}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x^{10}}$

Étape 13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1

Factorisez $x^{9}$ à partir de $e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x^{10}$ .

$\frac{x^{9} (x (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6}) + {(3 x - 2)}^{7} e^{x^{2}} (2 x)) - 9 e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7})}{x^{9} (e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x)}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{9} (x (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6}) + {(3 x - 2)}^{7} e^{x^{2}} (2 x)) - 9 e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7})}{x^{9} (e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x)}$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6}) + {(3 x - 2)}^{7} e^{x^{2}} (2 x)) - 9 e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6})) + x ({(3 x - 2)}^{7} e^{x^{2}} (2 x)) - 9 e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.2.1

Factorisez ${(3 x - 2)}^{6}$ à partir de $x (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6})) + x ({(3 x - 2)}^{7} e^{x^{2}} (2 x)) - 9 e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}$ .

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Étape 14.2.1.1

Factorisez ${(3 x - 2)}^{6}$ à partir de $x (e^{x^{2}} (21 {(3 x - 2)}^{6}))$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (x (e^{x^{2}} \cdot (21))) + x ({(3 x - 2)}^{7} e^{x^{2}} (2 x)) - 9 e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.1.2

Factorisez ${(3 x - 2)}^{6}$ à partir de $x ({(3 x - 2)}^{7} e^{x^{2}} (2 x))$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (x (e^{x^{2}} \cdot (21))) + {(3 x - 2)}^{6} (x ((3 x - 2) e^{x^{2}} (2 x))) - 9 e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.1.3

Factorisez ${(3 x - 2)}^{6}$ à partir de $- 9 e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7}$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (x (e^{x^{2}} \cdot (21))) + {(3 x - 2)}^{6} (x ((3 x - 2) e^{x^{2}} (2 x))) + {(3 x - 2)}^{6} (- 9 e^{x^{2}} (3 x - 2))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.1.4

Factorisez ${(3 x - 2)}^{6}$ à partir de ${(3 x - 2)}^{6} (x (e^{x^{2}} \cdot (21))) + {(3 x - 2)}^{6} (x ((3 x - 2) e^{x^{2}} (2 x)))$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (x (e^{x^{2}} \cdot (21)) + x ((3 x - 2) e^{x^{2}} (2 x))) + {(3 x - 2)}^{6} (- 9 e^{x^{2}} (3 x - 2))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.1.5

Factorisez ${(3 x - 2)}^{6}$ à partir de ${(3 x - 2)}^{6} (x (e^{x^{2}} \cdot (21)) + x ((3 x - 2) e^{x^{2}} (2 x))) + {(3 x - 2)}^{6} (- 9 e^{x^{2}} (3 x - 2))$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (x (e^{x^{2}} \cdot (21)) + x ((3 x - 2) e^{x^{2}} (2 x)) - 9 e^{x^{2}} (3 x - 2))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.2

Factorisez $e^{x^{2}}$ à partir de $x (e^{x^{2}} \cdot 21) + x ((3 x - 2) e^{x^{2}} (2 x)) - 9 e^{x^{2}} (3 x - 2)$ .

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Étape 14.2.2.1

Factorisez $e^{x^{2}}$ à partir de $x (e^{x^{2}} \cdot 21)$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (e^{x^{2}} (x \cdot (21)) + x ((3 x - 2) e^{x^{2}} (2 x)) - 9 e^{x^{2}} (3 x - 2))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.2.2

Factorisez $e^{x^{2}}$ à partir de $x ((3 x - 2) e^{x^{2}} (2 x))$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (e^{x^{2}} (x \cdot (21)) + e^{x^{2}} (x ((3 x - 2) (2 x))) - 9 e^{x^{2}} (3 x - 2))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.2.3

Factorisez $e^{x^{2}}$ à partir de $- 9 e^{x^{2}} (3 x - 2)$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (e^{x^{2}} (x \cdot (21)) + e^{x^{2}} (x ((3 x - 2) (2 x))) + e^{x^{2}} (- 9 (3 x - 2)))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.2.4

Factorisez $e^{x^{2}}$ à partir de $e^{x^{2}} (x \cdot (21)) + e^{x^{2}} (x ((3 x - 2) (2 x)))$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (e^{x^{2}} (x \cdot (21) + x ((3 x - 2) (2 x))) + e^{x^{2}} (- 9 (3 x - 2)))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.2.5

Factorisez $e^{x^{2}}$ à partir de $e^{x^{2}} (x \cdot (21) + x ((3 x - 2) (2 x))) + e^{x^{2}} (- 9 (3 x - 2))$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (e^{x^{2}} (x \cdot (21) + x ((3 x - 2) (2 x)) - 9 (3 x - 2)))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.3

Déplacez $21$ à gauche de $x$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (e^{x^{2}} (21 x + x ((3 x - 2) (2 x)) - 9 (3 x - 2)))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (e^{x^{2}} (21 x + 2 x ((3 x - 2) x) - 9 (3 x - 2)))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.2.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (e^{x^{2}} (21 x + 2 (x \cdot x) (3 x - 2) - 9 (3 x - 2)))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (e^{x^{2}} (21 x + 2 x^{2} (3 x - 2) - 9 (3 x - 2)))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (e^{x^{2}} (21 x + 2 x^{2} (3 x) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 9 (3 x - 2)))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (e^{x^{2}} (21 x + 2 \cdot 3 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 2 - 9 (3 x - 2)))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.8

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (e^{x^{2}} (21 x + 2 \cdot 3 x^{2} x - 4 x^{2} - 9 (3 x - 2)))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.2.9.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.2.9.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (e^{x^{2}} (21 x + 2 \cdot 3 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{2} - 9 (3 x - 2)))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.9.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 14.2.9.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (e^{x^{2}} (21 x + 2 \cdot 3 (x^{1} x^{2}) - 4 x^{2} - 9 (3 x - 2)))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.9.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (e^{x^{2}} (21 x + 2 \cdot 3 x^{1 + 2} - 4 x^{2} - 9 (3 x - 2)))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.9.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (e^{x^{2}} (21 x + 2 \cdot 3 x^{3} - 4 x^{2} - 9 (3 x - 2)))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.9.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (e^{x^{2}} (21 x + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 9 (3 x - 2)))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.10

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (e^{x^{2}} (21 x + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 9 (3 x) - 9 \cdot - 2))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.11

Multipliez $3$ par $- 9$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (e^{x^{2}} (21 x + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 27 x - 9 \cdot - 2))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.12

Multipliez $- 9$ par $- 2$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (e^{x^{2}} (21 x + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 27 x + 18))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.13

Soustrayez $27 x$ de $21 x$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (e^{x^{2}} (6 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 18))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.2.14

Factorisez.

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} e^{x^{2}} \cdot 2 (3 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 9)}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.3

Associez des termes.

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Étape 14.3.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(3 x - 2)}^{6} e^{x^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot ({(3 x - 2)}^{6} e^{x^{2}}) (3 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 9)}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.3.2

Annulez le facteur commun à ${(3 x - 2)}^{6}$ et ${(3 x - 2)}^{7}$ .

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Étape 14.3.2.1

Factorisez ${(3 x - 2)}^{6}$ à partir de $2 {(3 x - 2)}^{6} e^{x^{2}} (3 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 9)$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (2 e^{x^{2}} (3 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 9))}{e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x}$

Étape 14.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.3.2.2.1

Factorisez ${(3 x - 2)}^{6}$ à partir de $e^{x^{2}} {(3 x - 2)}^{7} x$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (2 e^{x^{2}} (3 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 9))}{{(3 x - 2)}^{6} (e^{x^{2}} (3 x - 2) x)}$

Étape 14.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(3 x - 2)}^{6} (2 e^{x^{2}} (3 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 9))}{{(3 x - 2)}^{6} (e^{x^{2}} (3 x - 2) x)}$

Étape 14.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 e^{x^{2}} (3 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 9)}{e^{x^{2}} (3 x - 2) x}$

Étape 14.3.3

Annulez le facteur commun de $e^{x^{2}}$ .

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Étape 14.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 e^{x^{2}} (3 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 9)}{e^{x^{2}} (3 x - 2) x}$

Étape 14.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (3 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 9)}{(3 x - 2) x}$

Étape 14.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (3 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 9)}{x (3 x - 2)}$