Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} - 4 x y + y^{2} = 4$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x y + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x y$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$2 x - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 y y'$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x - 4 (x y') - 4 y + 2 y y'$

Étape 2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 x - 4 x y' - 4 y + 2 y y'$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 4 x y' + 2 y y' + 2 x - 4 y$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 4 x y' + 2 y y' + 2 x - 4 y = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x y' + 2 y y' - 4 y = - 2 x$

Étape 5.1.2

Ajoutez $4 y$ aux deux côtés de l’équation.

$- 4 x y' + 2 y y' = - 2 x + 4 y$

Étape 5.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 4 x y' + 2 y y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 4 x y'$ .

$2 y' (- 2 x) + 2 y y' = - 2 x + 4 y$

Étape 5.2.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y y'$ .

$2 y' (- 2 x) + 2 y' y = - 2 x + 4 y$

Étape 5.2.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' (- 2 x) + 2 y' y$ .

$2 y' (- 2 x + y) = - 2 x + 4 y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 y' (- 2 x + y) = - 2 x + 4 y$ par $2 (- 2 x + y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (- 2 x + y) = - 2 x + 4 y$ par $2 (- 2 x + y)$ .

$\frac{2 y' (- 2 x + y)}{2 (- 2 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y' (- 2 x + y)}{2 (- 2 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $- 2 x + y$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- x}{- 2 x + y} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x}{- 2 x + y} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 5.3.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y$ .

$y' = - \frac{x}{- 2 x + y} + \frac{2 (2 y)}{2 (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{x}{- 2 x + y} + \frac{2 (2 y)}{2 (- 2 x + y)}$

Étape 5.3.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{x}{- 2 x + y} + \frac{2 y}{- 2 x + y}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- x + 2 y}{- 2 x + y}$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y' = \frac{- (x) + 2 y}{- 2 x + y}$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $2 y$ .

$y' = \frac{- (x) - (- 2 y)}{- 2 x + y}$

Étape 5.3.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{- (x - 2 y)}{- 2 x + y}$

Étape 5.3.3.2.5

Réécrivez $- (x - 2 y)$ comme $- 1 (x - 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- 2 x + y}$

Étape 5.3.3.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- (2 x) + y}$

Étape 5.3.3.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- (2 x) - 1 (- y)}$

Étape 5.3.3.2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- (2 x - y)}$

Étape 5.3.3.2.9

Réécrivez $- (2 x - y)$ comme $- 1 (2 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- 1 (2 x - y)}$

Étape 5.3.3.2.10

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- 1 (2 x - y)}$

Étape 5.3.3.2.11

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x - 2 y}{2 x - y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 2 y}{2 x - y}$